Pólya 枚举定理

Burnside 只把每个对称变换固定了多少对象压成一个数，Pólya 则保留置换的循环长度。一个着色被置换固定，当且仅当每个循环上的位置颜色相同；于是长度为 $k$ 的循环贡献颜色权重的 $k$ 次幂。把这些循环单项式平均，便得到可按颜色库存读取系数的循环指标。

长度 $n$ 项链用循环群，手镯还要加入反射形成二面体群。若颜色有不同权重，代入保留各颜色计数。Pólya 定理不是把颜色数简单代入普通生成函数；群必须明确作用在位置集合上。

四个位置在循环旋转群作用下，恒等置换循环型为 $1^4$，半转为 $2^2$，两次四分之一转为 $4^1$。两色无权计数时分别代入 $a_k=2$，恢复 Burnside 的六条二色项链；若用变量 $r,b$ 代入 $a_k=r^k+b^k$，则可读出恰含两红两蓝的轨道数。只知道群大小不足以写出循环指标，必须知道它在位置集上的具体作用。

群作用公理库群作用Group action群元素以保持单位元与乘法的方式作用于集合。的循环类型经Burnside 引理公理库Burnside 引理Burnside's lemma · Cauchy–Frobenius lemma有限群作用的轨道数等于各群元素不动点数的平均值。平均，生成函数公理库普通生成函数Ordinary generating function把序列编码为形式幂级数 Σ a_n x^n。记录颜色重数，形成 Pólya 枚举。它用于项链、分子异构体和图结构的对称去重；当颜色本身带结构或权重时，代入规则还能组合更复杂的对象类，而不是逐个列举轨道。