Burnside 引理 | Codeboy's Blog

形式陈述

设有限群 $G$ 作用于有限集合 $X$ 。记 $X/G$ 为轨道集合，记

\operatorname{Fix}(g)=\{x\in X:g\cdot x=x\}

为群元素 $g$ 的不动点集。Burnside 引理断言

|X/G|=\frac1{|G|}\sum_{g\in G}|\operatorname{Fix}(g)|.

因此，在对称变换下不同对象的种数，等于各变换所固定对象数的平均值。作用不必忠实：不同群元素可以诱导相同置换，公式仍成立。

双重计数证明

令 $A=\{(g,x)\in G\times X:g\cdot x=x\}$ 。按第一坐标计数得到 $|A|=\sum_g|\operatorname{Fix}(g)|$ 。按第二坐标计数则得到 $|A|=\sum_x|G_x|$ ，其中 $G_x=\{g:g\cdot x=x\}$ 是稳定子。

对每条轨道 $O$ ，轨道—稳定子定理给出 $|G_x|=|G|/|O|$ ，故

\sum_{x\in O}|G_x|=|O|\frac{|G|}{|O|}=|G|.

每条轨道恰好贡献 $|G|$ ，于是 $|A|=|X/G|\,|G|$ ，两种计数相等即得结论。

直觉

直接用 $|X|/|G|$ ，等于假定每个对象都有 $|G|$ 个不同的对称副本。高度对称的对象不满足这一假定：某些变换使它保持不动，其轨道就更小。

Burnside 的平均数自动补偿这种差异。小轨道中的对象有大稳定子，大轨道中的对象有小稳定子；把稳定子大小加起来后，每条轨道权重完全相同。证明的关键不是所有轨道等大，而是它们对配对集合 $A$ 的贡献等大。

例子与边界

考虑四颗珠子的二色项链，仅把旋转后的着色视为相同。四个旋转组成群 $C_4$ 。恒等旋转固定 $2^4=16$ 种着色；转 $90^\circ$ 或 $270^\circ$ 时，四个位置必须同色，各固定 $2$ 种；转 $180^\circ$ 时，两对相对位置分别同色，固定 $2^2=4$ 种。因此

|X/C_4|=\frac{16+2+4+2}{4}=6.

也可按黑珠数检查：零颗、一颗、三颗、四颗各一种，两颗时分相邻与相对两种，共六种。直接算 $16/4=4$ 会漏掉对称性造成的小轨道。

这里固定的是整幅着色，不是要求每个珠子位置都原地不动。旋转把位置置换成若干循环时，着色在每个循环上必须恒定；若有 $c$ 个循环、 $q$ 种颜色，就有 $q^c$ 个固定着色。

若还允许翻转，群变为二面体群，计数对象也由项链变为手链。本例两色四珠的数量恰巧仍为六，不能据此推断一般项链与手链的计数都相同。按共轭类合并计算时，每个代表的不动点数必须乘以该类大小；对代表简单平均通常错误。

推论与应用

当作用自由，即除单位元外没有元素固定任何对象时，公式退化为 $|X/G|=|X|/|G|$ 。这说明“除以对称群大小”有严格适用条件，而非普遍的去重规则。

项链、图的同构类型和化学结构的对称计数都可先明确对象集合与允许变换，再逐类计算不动点。若还要记录每种颜色用了多少次，Pólya 枚举定理把循环结构汇入多元生成函数；Burnside 则给出忽略这些库存细节后的轨道总数。

参考资料

Mitchel T. Keller、William T. Trotter，Applied Combinatorics，在线版，访问于 2026 年，§15.3，命题 15.8 与引理 15.9。
Richard P. Stanley，Algebraic Combinatorics，作者公开书稿，第 7 章 “Enumeration under Group Action”，引理 7.2、定理 7.5；访问于 2026 年。

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