形式陈述

有限群 $G$$G$ 作用于有限集合 $X$$X$ 时，轨道数满足

$$ |X/G|=\frac1{|G|}\sum_{g\in G}|\operatorname{Fix}(g)|. $$$$|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}|\mathrm{Fix}(g)|.$$

证明可双重计数集合 $\{(g,x):gx=x\}$$\{(g,x):gx=x\}$，或结合轨道—稳定子定理。公式需要对群元素而不是共轭类直接平均；按共轭类求和时必须乘类大小。

直觉

每个对象被其稳定子贡献若干次，而一个轨道所有对象的稳定子大小总贡献恰好一个群大小。

例子与边界

计数项链时，旋转固定的着色数取决于旋转循环结构。仅除以 $|G|$$|G|$ 通常错误，因为具有对称性的对象轨道更小。Burnside 给普通轨道数；带颜色权重的系统生成函数需 Pólya 理论。

推论与应用

Burnside 引理用于项链、图着色、化学异构体和任何有限对称去重计数。

参考资料

• Richard P. Stanley, Enumerative Combinatorics, Vol. 1, 2nd ed., Cambridge University Press, 2011，Chs. 1–4。
• Philippe Flajolet and Robert Sedgewick, Analytic Combinatorics, Cambridge University Press, 2009，Parts A–B。