形式陈述

群是二元组 $(G,\ast)$$(G,\ast )$，其中 $\ast$$\ast$ 满足：结合律 $(a\ast b)\ast c=a\ast(b\ast c)$$(a\ast b)\ast c=a\ast (b\ast c)$；存在单位元 $e$$e$ 使 $e\ast a=a\ast e=a$$e\ast a=a\ast e=a$；每个 $a$$a$ 存在逆元 $a^{-1}$$a^{-1}$ 使 $a\ast a^{-1}=a^{-1}\ast a=e$$a\ast a^{-1}=a^{-1}\ast a=e$。

直觉

群抽取了“可组合且可撤销的对称变换”。元素是什么并不重要，重要的是组合关系。

例子与边界

$(\mathbb Z,+)$$(\mathbb{Z},+)$ 是群，单位元是 $0$$0$，$n$$n$ 的逆元是 $-n$$-n$。$(\mathbb N,+)$$(\mathbb{N},+)$ 不是群，因为正整数通常没有加法逆元。群不要求交换；满足交换律的群称阿贝尔群。

推论与应用

群统一描述几何对称、置换、模运算、编码理论和密码协议中的代数结构。

参考资料

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., §1.1.
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Chapter 2.