形式陈述

设 $X=U\cup V$$X=U\cup V$，其中 $U,V$$U,V$ 为开且道路连通，$U\cap V$$U\cap V$ 也道路连通，并取基点 $x_0\in U\cap V$$x_0\in U\cap V$。包含映射诱导同态后，Seifert–van Kampen 定理断言 $\pi_1(X,x_0)$${\pi }_1(X,x_0)$ 是图表

$$ \pi_1(U\cap V,x_0)\rightrightarrows \pi_1(U,x_0),\ \pi_1(V,x_0) $$$${\pi }_1(U\cap V,x_0)\rightrightarrows {\pi }_1(U,x_0),{\pi }_1(V,x_0)$$

在群范畴中的推出。具体地，

$$ \pi_1(X,x_0) \cong \bigl(\pi_1(U)*\pi_1(V)\bigr)/N, $$$${\pi }_1(X,x_0)\cong ({\pi }_1(U)\ast {\pi }_1(V))/N,$$

其中 $N$$N$ 是由所有关系 $i_*(\omega)j_*(\omega)^{-1}$$i_{\ast }(\omega )j_{\ast }(\omega {)}^{-1}$（$\omega\in\pi_1(U\cap V,x_0)$$\omega \in {\pi }_1(U\cap V,x_0)$）生成的正规闭包。

直觉

整体环路可以切成落在两个开集中的小段，所以由局部基本群生成；交集中的同一环路在两侧有两种描述，定理恰好把它们识别。

例子与边界

把圆周分为两个略大于半圆的开集时，交集有两个分支，不满足简单版本的道路连通假设；直接误用会得到错误群，需要调整覆盖、使用多个基点的基本群胚版本或其他构造。楔和 $S^1\vee S^1$$S^1\vee S^1$ 的基本群是自由群 $\mathbb Z*\mathbb Z$$\mathbb{Z}\ast \mathbb{Z}$。给二维胞腔沿词 $r$$r$ 粘到一维骨架时，定理把关系 $r=1$$r=1$ 加入群表示。开集条件可由适当形变收缩邻域替代，但不能无解释地只用任意闭覆盖。

推论与应用

van Kampen 定理是计算基本群的主要局部到整体工具，连接 CW 复形粘合、群表示、曲面群和结空间补集。

参考资料

• Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002，Ch. 1, van Kampen theorem and applications。
• Glen E. Bredon, Topology and Geometry, Springer, 1993，Ch. III, Seifert–van Kampen theorem。