Seifert–van Kampen 定理

空间由两个开集粘成时，每条回路可切成落在两边的短段，因此全空间基本群由两边基本群生成。交集中的回路在两边代表同一条全局回路，所以必须把两种像识别；除这些关系外不再增加隐藏关系。代数上这给出群的 pushout，交集单连通时退化为自由积；若两边基本群本身由回路自由生成，便直接出现自由群理路自由群Free group · 自由群构造除群公理强制的逆元约消外不带任何关系，并由生成集映射的唯一延拓刻画的群。。

把圆周分为两个略大于半圆的开集时，交集有两个分支，不满足简单版本的道路连通假设；直接误用会得到错误群，需要调整覆盖、使用多个基点的基本群胚版本或其他构造。楔和 $S^1\vee S^1$ 的基本群是自由积 $\mathbb{Z}\ast \mathbb{Z}\cong F_2$。给二维胞腔沿词 $r$ 粘到一维骨架时，定理把关系 $r=1$ 加入群呈示理路群的呈示Group presentation用生成元集合和关系集合给出群的商结构描述。。开集条件可由适当形变收缩邻域替代，但不能无解释地只用任意闭覆盖。

实射影平面可看成在圆周上沿次数为 $2$ 的映射粘一个二胞腔。Seifert–van Kampen 定理把这条粘贴映射变成关系

若粘贴映射改为常值映射，得到的是 $S^1\vee S^2$，基本群仍为 $\mathbb{Z}$；真正决定关系的是边界映射的同伦类。

基本群理路基本群Fundamental group基点回路按端点固定同伦分类后形成的群。在开覆盖理路开集Open set拓扑中被指定为开放的子集，是邻域、连续性与局部构造的基本单位。下由群呈示粘合，交集映射决定 amalgamated free product。道路连通理路道路连通空间Path-connected space任意两点可由从单位区间出发的连续路径连接。与共同基点保证回路可分段比较。该定理计算曲面、结补和 CW 复形基本群，并与Mayer–Vietoris 序列理路Mayer–Vietoris 序列Mayer–Vietoris sequence从小链和微分形式的短正合列构造两种 Mayer–Vietoris 序列，写出形式连接同态，并在球面上算出归一化面积类。形成非阿贝尔一维版本的局部到整体工具。

Wirtinger 结群呈示理路Wirtinger 结群表示Wirtinger presentation · Knot group用图的弧作为子午线生成元、交叉作为共轭关系，完整化简三叶结群并构造到 S₃ 的满同态。是本定理的一项具体计算：图的每条弧给子午线生成元，每个交叉给共轭关系。三叶结的呈示化成 $⟨a,b\mid aba=bab⟩$ 后，可满射到非交换群 $S_3$，从而证明它与群为 $\mathbb{Z}$ 的平凡结不同。