正规子群

普通子群只要求内部自洽；正规子群还要求从全群任何“坐标系”观察时仍是同一子群。按右侧先作用的约定，共轭 $gn{g}^{-1}$ 是先做 $g^{-1}$，再做 $n$，最后做 $g$；它把动作 $n$ 搬到另一个参照位置。若这一变换不会把 $N$ 中的动作送出 $N$，$N$ 才能代表一类与全群乘法相容的“不可观察差异”。

正规不等于“每个元素位于中心”。中心里的元素逐个与全群交换，而正规性只要求整个集合在共轭后保持，可以允许元素在 $N$ 内彼此置换。$A_3$ 在 $S_3$ 中正规，但两个三轮换会被换位共轭后互换，并不与所有置换交换。

左右陪集相等使商群运算不依赖代表元。若把 $N$ 中所有元素都压成单位元，那么从代表元左侧或右侧吸收一个 $N$-因子都必须给出同一类；正规性正好提供这项保证。

阿贝尔群的每个子群都正规，因为 $gn{g}^{-1}=n$。任意群的平凡子群、全群和中心也都正规。指数为 $2$ 的子群自动正规：左右陪集都只有子群自身与唯一的另一个块。

在 $n$ 个符号的置换群 $S_n$ 中，符号映射把偶置换送到 $1$、奇置换送到 $-1$：

目标群的运算是乘法，复合置换的符号相乘，所以这是群同态理路群同态Group homomorphism保持群运算的映射，核记录被消去的信息，像记录实际保留下来的结构。。所有被送到 $1$ 的置换组成它的核 $A_n$，也就是交错群；核为何正规，会在下一节直接验证。在 $S_3$ 中，$A_3=\{e,(123),(132)\}$ 是正规子群；反之，$H=\{e,(12)\}$ 不正规，因为

正方形对称群 $D_4=⟨r,s\mid r^4=s^2=e,srs=r^{-1}⟩$ 中，旋转子群 $⟨r⟩$ 正规，因为反射共轭只把 $r$ 变成 $r^{-1}$。这里 $r$ 是四分之一周旋转，$s$ 是一次反射，$⟨r⟩=\{e,r,r^2,r^3\}$。反射子群 $⟨s⟩=\{e,s\}$ 不正规，因为 $rs{r}^{-1}=r^{2}s\notin \{e,s\}$：旋转共轭把反射轴移到了另一条轴。这一几何例子清楚地区分“整个旋转系统稳定”与“某条反射轴稳定”。

正规性不具有传递性。Klein 四元群

正规于 $A_4$；其中任意二阶子群又正规于 $V_4$，因为 $V_4$ 阿贝尔。例如取 $K=\{e,(12)(34)\}$，再用 $g=(123)\in A_4$ 共轭，得到 $g(12)(34)g^{-1}=(23)(14)\notin K$。其他二阶子群也会被类似共轭互换，所以并不正规于 $A_4$。写正规链时必须标清每一步的正规性相对于哪一个群而言。

任意群同态 $\phi :G\to H$ 的核都正规：

反过来，每个正规子群 $N$ 都是自然投影 $G\to G/N$ 的核。因此“正规子群”与“某个同态看不见的部分”是同一类对象。

任意族正规子群的交仍正规；同态下正规子群的原像也正规。像的结论要更谨慎：若 $N⊴G$，则 $\phi (N)⊴\phi (G)$，但在 $\phi$ 不满射时未必正规于整个陪域。若忽略正规性相对于哪个群成立，就会把像中的局部结论错误提升到整个陪域，继而误用对应定理或群扩张结论。

商群理路商群Quotient group将正规子群压成单位元后，在其陪集商集上诱导出的群。把正规子群压成单位陪集。第一同构定理理路群第一同构定理First isomorphism theorem for groups群同态的定义域商去其核后，与同态像自然同构。说明任何同态像都可由定义域商掉核得到；对应定理与第二、第三同构定理则组织包含关系、子群与连续取商。交换子子群、组成列和可解群都建立在正规子群链上。

若从任意子集 $S$ 出发，需要包含它的最小正规子群，就取所有共轭元 $gs{g}^{-1}$ 的生成子群，称为 $S$ 的正规闭包。它一般大于普通生成子群，这正是“对内部运算封闭”和“对全群共轭也封闭”的差距。