形式陈述

设 $N\le G$$N\le G$。若对每个 $g\in G$$g\in G$ 都有

$$ gNg^{-1}=N, $$$$gN{g}^{-1}=N,$$

则称 $N$$N$ 是 $G$$G$ 的正规子群，记作 $N\trianglelefteq G$$N⊴G$。等价地，对所有 $g\in G$$g\in G$ 有 $gN=Ng$$gN=Ng$；也等价于 $gng^{-1}\in N$$gn{g}^{-1}\in N$ 对所有 $g\in G,n\in N$$g\in G,n\in N$ 成立。

直觉

普通子群只要求内部运算封闭；正规子群还要求从整个群的任意观察坐标进行共轭变换后仍是同一个子群。这正是把陪集当作新元素并继承群运算所需的不变性。

例子与边界

阿贝尔群的每个子群都正规。$A_3\trianglelefteq S_3$$A_3⊴S_3$，因为它是符号同态的核；但 $\{e,(12)\}$$\{e,(12)\}$ 在 $S_3$$S_3$ 中不正规，共轭会把 $(12)$$(12)$ 变成其他换位。正规并不表示子群元素与全群元素逐点交换。

推论与应用

群同态的核总是正规子群，而正规子群恰好允许构造商群。正规子群还用于同构定理、群的合成列和通过较小商结构分析原群。

参考资料

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004, §3.1.
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011, §§2.8–2.12.