群的第三同构定理

取商理路商群Quotient group将正规子群压成单位元后，在其陪集商集上诱导出的群。是在宣布一批差异不可观察。先把 $N$ 压成单位元后，$K$ 中仍可见的部分恰是 $K/N$；再把它压掉，最终任何两个相差 $K$ 中元素的群元素都被识别。这个结果与一开始直接按 $K$-陪集分类完全相同。

包含条件 $N\subseteq K$ 使每个 $K$-陪集都由若干完整的 $N$-陪集组成。第二次取商把这些小陪集合并成大陪集，从而逐层完成同一次识别。

“分步压缩”得到陪集的集合，“一步压缩”直接得到 $G$ 中的陪集。诱导同构把它们对应起来：

左边这个元素所收集的全部 $N$-陪集，它们的并恰好就是右边的 $gK$。

令 $m,n$ 为正整数，在加法群 $\mathbb{Z}$ 中取

因为 $mn\mathbb{Z}\subseteq n\mathbb{Z}$，第三同构定理给出

左边先记住模 $mn$ 的余数，再把相差 $n$ 的余数合并；右边从一开始只记模 $n$ 的余数。诱导同构把二次陪集直接送到 $a+n\mathbb{Z}$。

在四元数群 $Q_8=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}$ 中，

而且这两个子群都正规于 $Q_8$。于是

第一步把 $i$ 与 $-i$ 等元素成对识别，第二步再压掉 $i$ 所在方向；一次直接商掉 $⟨i⟩$ 得到同样的二元信息。

包含条件可以用整数例子检验。若取 $N=2\mathbb{Z}$、$K=3\mathbb{Z}$，则 $0+N=2+N$，但 $0+K\ne 2+K$。所以 $a+N\mapsto a+K$ 会把同一个陪集送到两个不同结果，不能定义映射。

正规性也有相对层次。令 $G=A_4$、$K=V_4$、$N=\{e,(12)(34)\}$。因为 $K$ 阿贝尔，$N⊴K$；$K$ 也正规于 $A_4$。但 $(123)$ 把 $(12)(34)$ 共轭成 $(14)(23)$，所以 $N$ 不正规于 $G$。这条逐层正规的链有相邻商 $K/N$、$G/K$，而 $G/N$ 无法用陪集乘法构成商群。

第三同构定理允许按已知信息选择计算顺序。若 $G/K$ 容易识别，就直接确定两次取商的结果；若已经掌握 $G/N$ 及其中的 $K/N$，则可在较小的群中继续计算。有限情形中，阶数也对应这种分步消去：

结合对应定理理路群的对应定理Correspondence theorem for groups · Lattice theorem商群的子群与原群中包含被商正规子群的子群一一对应，并保持格结构与正规性。，包含 $N$ 的正规子群 $K$ 正好对应于 $G/N$ 的正规子群 $K/N$；第三同构定理进一步算出再对这个对应项取商的结果。前者组织子群格，后者组织投影的复合。

同样的映射还适用于向量空间。若 $N\subseteq K\subseteq V$ 是线性子空间，映射 $v+N\mapsto v+K$ 是满线性映射，核为 $K/N$，因此 $(V/N)/(K/N)\cong V/K$。群论中的证明在这里直接变成商空间的计算。