群的第三同构定理

取商公理库商群Quotient group将正规子群压成单位元后，在其陪集商集上诱导出的群。是在宣布一批差异不可观察。先把 $N$ 压成单位元后，$K$ 中仍可见的部分恰是 $K/N$；再把它压掉，最终任何两个相差 $K$ 中元素的群元素都被识别。这个结果与一开始直接按 $K$-陪集分类完全相同。

包含条件 $N\subseteq K$ 保证每个 $N$-陪集只会落入一个 $K$-陪集。若 $N$ 中还含有不属于 $K$ 的元素，那么同一个 $N$-陪集可能跨越多个 $K$-陪集，公式 $gN\mapsto gK$ 便无法定义。定理的假设正是映射能够存在的结构条件。

“分步压缩”和“一步压缩”所得对象自然同构，但底层集合并不相同。左边的元素是 $G/N$ 中的陪集之陪集，右边的元素是 $G$ 中的 $K$-陪集；映射 $\mathrm{\Phi }$ 负责忘掉中间包装。

令 $m,n$ 为正整数，在加法群 $\mathbb{Z}$ 中取

因为 $mn\mathbb{Z}\subseteq n\mathbb{Z}$，第三同构定理给出

左边先记住模 $mn$ 的余数，再把相差 $n$ 的余数合并；右边从一开始只记模 $n$ 的余数。诱导同构把二次陪集直接送到 $a+n\mathbb{Z}$。

在四元数群 $Q_8=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}$ 中，

而且这两个子群都正规于 $Q_8$。于是

第一步把 $i$ 与 $-i$ 等元素成对识别，第二步再压掉 $i$ 所在方向；一次直接商掉 $⟨i⟩$ 得到同样的二元信息。

若 $N⊈K$，表达式 $K/N$ 根本没有定义。若 $N$ 只正规于 $K$ 而不正规于 $G$，则 $G/N$ 未必是群；若 $K$ 不正规于 $G$，则右边 $G/K$ 未必是群。每个正规符号都必须相对于实际取商的群检查，不能仅凭一条包含链猜测。

第三同构定理把嵌套商的计算化为一次核计算。若已知 $G/N$，要再商去与 $K$ 对应的子群，无需重新展开“陪集的陪集”；直接计算 $G/K$ 往往更清楚。反过来，若 $K/N$ 的结构易懂，也可分阶段分析 $G/K$。

结合对应定理公理库群的对应定理Correspondence theorem for groups · Lattice theorem商群的子群与原群中包含被商正规子群的子群一一对应，并保持格结构与正规性。，包含 $N$ 的正规子群 $K$ 正好对应于 $G/N$ 的正规子群 $K/N$；第三同构定理进一步算出再对这个对应项取商的结果。前者组织子群格，后者组织投影的复合。

正规列与组成列反复使用这种分层语言。若

其中每个 $G_{i+1}$ 正规于 $G_i$，便可研究相邻因子 $G_i/G_{i+1}$。要把不同层都视为同一个 $G$ 的商，还需额外验证相关子群正规于 $G$；逐层正规只给出相邻商，并不保证每层都正规于顶层。

从映射角度看，定理说明自然投影可复合且核按包含链增长。这一模式会原样出现在环、模和向量空间的商结构中，是所有“商的商”公式的共同证明骨架。