群的第三同构定理 | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $N\trianglelefteq G$ 、 $K\trianglelefteq G$ 且 $N\subseteq K$ 。则 $K/N$ 是 $G/N$ 的正规子群，并且

(G/N)/(K/N)\cong G/K.

定义映射

\Phi:G/N\longrightarrow G/K,\qquad gN\longmapsto gK.

若 $gN=hN$ ，则 $h^{-1}g\in N\subseteq K$ ，所以 $gK=hK$ ，映射良定义。它显然是满同态，且

\ker\Phi=\{gN:g\in K\}=K/N.

由第一同构定理得到所述同构。这里 $K\trianglelefteq G$ 同时保证 $G/K$ 可定义，并保证 $K/N\trianglelefteq G/N$ 。

商群是在宣布一批元素彼此不可区分。先把 $N$ 压成单位元，再在新群中把剩余的 $K/N$ 压掉，与一开始就把整个 $K$ 压掉表达同一套等价关系。较小关系并没有在第二步消失，而是已经包含在较大的关系里。

映射 $gN\mapsto gK$ 把这幅图像变成可检查的证明：它说明二次取商后的元素最终由哪个 $K$ -陪集决定，也说明中间必须有 $N\subseteq K$ ，否则一个 $N$ -陪集未必落进唯一的 $K$ -陪集。

在加法群 $G=\mathbb Z$ 中取 $N=12\mathbb Z$ 、 $K=4\mathbb Z$ 。因为 $12\mathbb Z\subseteq4\mathbb Z$ ，有

(\mathbb Z/12\mathbb Z)/(4\mathbb Z/12\mathbb Z) \cong\mathbb Z/4\mathbb Z.

左边先把整数按模 $12$ 分类，再把 $0,4,8$ 所成子群压掉；右边直接按模 $4$ 分类。映射 $(a+12\mathbb Z)+(4\mathbb Z/12\mathbb Z)\mapsto a+4\mathbb Z$ 展示了两边的对应。

若 $N\not\subseteq K$ ，表达式 $K/N$ 本身没有意义。若 $K$ 只在自身中正规而不在 $G$ 中正规，则 $G/K$ 不能构成群， $K/N$ 也未必在 $G/N$ 中正规。最后，同构不意味着两个商集合字面相同；它由上述映射给出，并依赖整条正规子群链。

第三同构定理允许把复杂商分阶段计算。若正规链

N_0\trianglelefteq N_1\trianglelefteq\cdots\trianglelefteq N_r=G

还满足各项在所需 ambient group 中正规，就能逐层分析商因子，而不必每次回到原群重建陪集运算。群的组成列、可解性和扩张问题都依赖这种分层语言。

结合对应定理， $K/N$ 正是 $G/N$ 中与 $K$ 对应的子群；第三同构定理进一步说明再商掉它会得到什么。它不是额外的集合恒等式，而是自然投影复合 $G\to G/N\to G/K$ 的核–像结构。

参考资料