形式陈述

设 $\varphi:G\to H$$\phi :G\to H$ 为群同态。则 $\ker\varphi\trianglelefteq G$$\ker \phi ⊴G$，且映射

$$ \overline\varphi:G/\ker\varphi\longrightarrow\operatorname{im}\varphi, \qquad g\ker\varphi\longmapsto\varphi(g) $$$$\bar{\phi }:G/\ker \phi ⟶\mathrm{im}\phi ,g\ker \phi ⟼\phi (g)$$

是群同构。因此

$$ G/\ker\varphi\cong\operatorname{im}\varphi. $$$$G/\ker \phi \cong \mathrm{im}\phi .$$

良定义性来自：$g\ker\varphi=g'\ker\varphi$$g\ker \phi =g^{\prime }\ker \phi$ 当且仅当 $g^{-1}g'\in\ker\varphi$$g^{-1}{g}^{\prime }\in \ker \phi$，等价于 $\varphi(g)=\varphi(g')$$\phi (g)=\phi (g^{\prime })$。该映射显然满射，而其核只有单位陪集，故单射。

直觉

同态会把某些元素压缩成同一个像；两个元素被压到一起，恰好因为它们相差一个核元素。先把定义域按这种不可区分性取商，剩下的结构就与实际像完全一致。

例子与边界

同态 $\varphi:\mathbb Z\to\mathbb Z_n$$\phi :\mathbb{Z}\to {\mathbb{Z}}_n$，$k\mapsto[k]_n$$k\mapsto [k{]}_n$ 的核是 $n\mathbb Z$$n\mathbb{Z}$，像是整个 $\mathbb Z_n$${\mathbb{Z}}_n$，故 $\mathbb Z/n\mathbb Z\cong\mathbb Z_n$$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\cong {\mathbb{Z}}_n$。定理得到的是像而非整个陪域；只有 $\varphi$$\phi$ 满射时才有 $G/\ker\varphi\cong H$$G/\ker \phi \cong H$。

推论与应用

第一同构定理把同态、正规子群与商群统一起来，可用于计算商结构、证明循环群分类和导出后续同构定理。它也说明正规子群恰好是某个群同态的核。

参考资料

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004，§3.3。
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011，Ch. 2。