群第一同构定理

同态的所有碰撞都由核解释：

所以 $\phi$ 的每条非空纤维恰是一个核陪集。先取商就是把每条纤维压成一个点；这些点与像中的元素一一对应，原同态便在商群与像之间成为同构。

这也解释了为什么核必须正规。任何与群乘法相容的压缩，其单位元纤维都自动在共轭下稳定；反过来，每个正规子群都可作为自然投影的核。正规子群、商群理路商群Quotient group将正规子群压成单位元后，在其陪集商集上诱导出的群。与同态由此成为同一压缩机制的三个侧面，并通过核与自然投影彼此衔接。

在规范分解中，商群与像之间总有同构，最后一步则把像嵌入陪域。$\phi$ 满射时，这个像就是整个 $H$，结论相应写成 $G/\ker \phi \cong H$。

对正整数 $n$，模 $n$ 映射

的核为 $n\mathbb{Z}$，像为全体剩余类，所以

余数 $\overline{a}$ 的纤维是 $a+n\mathbb{Z}$；两个整数有相同余数，恰好意味着它们相差 $n$ 的整数倍。通常的模运算就是按这些纤维构造的商运算。

指数映射

是满群同态，核为 $2\pi \mathbb{Z}$。因此

商群左边把相差整圈的角度识别，右边则把角度实现为单位圆上的点；这个同构把“卷起实数轴”的几何图像变成严格陈述。

对域 $F$ 和 $n\ge 1$，行列式同态 $\det :{\mathrm{GL}}_n(F)\to F^{\times }$ 的核为 ${\mathrm{SL}}_n(F)$。每个 $a\in F^{\times }$ 都是对角矩阵 $\mathrm{diag}(a,1,\dots ,1)$ 的行列式，所以该同态满射，得到

这里商掉所有行列式为 $1$ 的变化后，剩余信息恰好是行列式标量。

取包含映射 $\iota :2\mathbb{Z}\hookrightarrow \mathbb{Z}$，核平凡，像是偶数子群。第一同构定理得到的映射仍把 $2k$ 送到 $2k$，其目标为 $2\mathbb{Z}$。若另取 $2k\mapsto k$，则得到 $2\mathbb{Z}$ 与 $\mathbb{Z}$ 的同构。这两个映射有不同的像，说明抽象群是否同构与指定同态是否满射是两件事。

若 $G$ 有限，取阶得到

这既是Lagrange 公式理路拉格朗日定理Lagrange's theorem有限群的阶等于子群阶与指数之积，因此子群阶必整除群阶。对核的应用，也能快速限制有限群之间可能存在的同态。例如从素数阶群出发的非平凡同态必单射，因为核的阶只能是 $1$ 或整个群的阶。

定理提供了反复使用的证明模板：先构造一个自然同态，再计算核与像，最后让诱导同构给出目标。第二同构定理理路群的第二同构定理Second isomorphism theorem for groups · Diamond isomorphism theorem子群投影到商群时，交集是核，子群与正规子群的乘积描述其像。把子群映入一个商群；第三同构定理理路群的第三同构定理Third isomorphism theorem for groups沿嵌套正规子群分两次取商，与直接商掉较大的正规子群自然同构。把一次商投影到更大的商；对应定理理路群的对应定理Correspondence theorem for groups · Lattice theorem商群的子群与原群中包含被商正规子群的子群一一对应，并保持格结构与正规性。则把自然投影的像与原像系统化。

若 $\phi$ 满射，可把结构写成短正合列

第一同构定理识别出 $H\cong G/\ker \phi$。若还要从核与商重建 $G$，就进入群扩张问题。例如模 $2$ 映射 $C_4\to C_2$ 的核为 $C_2$；相同的核与商也出现在 $C_2\times C_2$ 的坐标投影中，但前者有四阶元，后者所有非单位元都是二阶。核与商之间的组合方式决定了这种差别。