群第一同构定理

同态的所有碰撞都由核解释：

所以 $\phi$ 的每条纤维恰是一个核陪集。先取商就是把每条纤维压成一个点；此后不同点不再碰撞，而这些点又恰好覆盖像。定理完整消去了“按同态无法区分”这一关系；单纯的群阶巧合无法给出这个规范映射。

这也解释了为什么核必须正规。任何与群乘法相容的压缩，其单位元纤维都自动在共轭下稳定；反过来，每个正规子群都可作为自然投影的核。正规子群、商群公理库商群Quotient group将正规子群压成单位元后，在其陪集商集上诱导出的群。与同态由此成为同一压缩机制的三个侧面，并通过核与自然投影彼此衔接。

“同构于像”是结论的准确范围。若同态没有覆盖整个陪域，商群不会凭空补出未命中的元素；把 $\mathrm{im}\phi$ 擅自换成 $H$，等于偷偷加入满射假设。

模 $n$ 映射

的核为 $n\mathbb{Z}$，像为全体剩余类，所以

这个看似“同一个对象同构于自身”的例子仍有内容：它说明通常的模运算确实是整数加法按核纤维得到的商结构。

指数映射

是满群同态，核为 $2\pi \mathbb{Z}$。因此

商群左边把相差整圈的角度识别，右边则把角度实现为单位圆上的点；这个同构把“卷起实数轴”的几何图像变成严格陈述。

对域 $F$，行列式同态 $\det :{\mathrm{GL}}_n(F)\to F^{\times }$ 满射，核为 ${\mathrm{SL}}_n(F)$，故

这里商掉所有行列式为 $1$ 的变化后，剩余信息恰好是行列式标量。

若取嵌入 $\iota :2\mathbb{Z}\hookrightarrow \mathbb{Z}$，核平凡，第一同构定理只给出 $2\mathbb{Z}\cong \mathrm{im}\iota =2\mathbb{Z}$，并不给出 $2\mathbb{Z}\cong \mathbb{Z}$ 的“由此”结论。后一个同构确实存在，却需要另选映射，无法由这次包含映射或把像误写成陪域得到。

若 $G$ 有限，取阶得到

这既是 Lagrange 公式对核的应用，也能快速限制有限群之间可能存在的同态。例如从素数阶群出发的非平凡同态必单射，因为核的阶只能是 $1$ 或整个群的阶。

定理提供了反复使用的证明模板：先构造一个自然同态，再计算核与像，最后让诱导同构给出目标。第二同构定理公理库群的第二同构定理Second isomorphism theorem for groups · Diamond isomorphism theorem子群投影到商群时，交集是核，子群与正规子群的乘积描述其像。把子群映入一个商群；第三同构定理公理库群的第三同构定理Third isomorphism theorem for groups沿嵌套正规子群分两次取商，与直接商掉较大的正规子群自然同构。把一次商投影到更大的商；对应定理公理库群的对应定理Correspondence theorem for groups · Lattice theorem商群的子群与原群中包含被商正规子群的子群一一对应，并保持格结构与正规性。则把自然投影的像与原像系统化。

若 $\phi$ 满射，可把结构写成短正合列

第一同构定理说明 $H$ 一定是 $G/\ker \phi$，但它不说明 $G$ 必分解成核与 $H$ 的直积或半直积；是否存在截面、共轭作用怎样扭曲，属于更进一步的群扩张问题。