群的对应定理

商掉 $N$ 后，同一个 $N$-陪集里的元素再也无法区分。一个原群子群若要在商群中保持完整，就必须连同每个元素的整个 $N$-陪集一起出现；这等价于它已经包含 $N$。这样的子群有时称为关于投影“饱和”的子群。

从商群往回拉，可以把每个陪集展开为其中的全部元素。给定 $\overline{H}\le G/N$，原像 ${\pi }^{-1}(\overline{H})$ 自动含有核 $N$，并对乘法与逆元封闭，因此是子群。再投影回去，满射性保证恰好回到 $\overline{H}$。

对应定理保留整个子群格，其中包含的信息远多于子群数量。包含链、交、由若干子群生成的最小上界，以及相对正规性都穿过投影；因此研究 $G/N$ 的内部结构，可以等价地研究 $G$ 中位于区间 $[N,G]$ 的那一段子群格。

对正整数 $n$，取加法群 $G=\mathbb{Z}$、$N=n\mathbb{Z}$。包含 $n\mathbb{Z}$ 的子群恰为 $d\mathbb{Z}$，其中 $d$ 是 $n$ 的正因数。它对应于

该子群的阶为 $n/d$。包含关系由整除反向表达：$d_1\mathbb{Z}\subseteq d_2\mathbb{Z}$ 当且仅当 $d_2\mid d_1$。例如 $12\mathbb{Z}\subseteq 4\mathbb{Z}\subseteq 2\mathbb{Z}\subseteq \mathbb{Z}$，在模 $12$ 的商群中对应阶为 $1,3,6,12$ 的子群链。

对 $S_3$ 与 $N=A_3$，商群 $S_3/A_3\cong C_2$ 只有平凡子群和自身。对应回原群，包含 $A_3$ 的子群也只有 $A_3$ 与 $S_3$。这比重新枚举所有置换更直接，并说明 $A_3$ 是 $S_3$ 的极大正规子群。

对任意子群 $H\le G$，先取像再取原像得到 ${\pi }^{-1}(\pi (H))=HN$，即把 $H$ 补成包含完整 $N$-陪集的子群。因此其投影为

例如在 $\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ 中，$5\mathbb{Z}+12\mathbb{Z}=\mathbb{Z}$，所以 $5\mathbb{Z}$ 的像是整个商群，与 $\mathbb{Z}$ 的像相同。把这个像拉回，得到的是 $\mathbb{Z}$。限定 $N\le H$，正好使这样的补全过程保持 $H$ 不变，从而得到双射。

正规性的对应来自共轭与投影相容：对 $k\in K$，$\pi (kH{k}^{-1})=(kN)(H/N)(kN{)}^{-1}$。由于这两个源子群都包含 $N$，像相等就意味着原子群相等。取 $K=G$，便得到 $H⊴G⟺H/N⊴G/N$。

当 $N\ne G$ 时，商群 $G/N$ 是简单群，当且仅当每个满足 $N\le K⊴G$ 的子群 $K$ 都等于 $N$ 或 $G$：商群中的正规子群通过对应定理恰好拉回这些中间正规子群。类似地，$H/N$ 是 $G/N$ 的极大子群，当且仅当 $H$ 是包含 $N$ 的极大真子群。

第三同构定理理路群的第三同构定理Third isomorphism theorem for groups沿嵌套正规子群分两次取商，与直接商掉较大的正规子群自然同构。是正规项上的直接计算：与 $K⊴G$ 对应的 $K/N⊴G/N$ 再被商掉后，得到 $(G/N)/(K/N)\cong G/K$。对应定理告诉我们“有哪些子群”，第三同构定理告诉我们“再商以后是什么”。

第二同构定理理路群的第二同构定理Second isomorphism theorem for groups · Diamond isomorphism theorem子群投影到商群时，交集是核，子群与正规子群的乘积描述其像。处理没有包含 $N$ 的任意子群 $H$：先把它扩大到饱和子群 $HN$，再得到 $H/(H\cap N)\cong HN/N$。两条定理合起来完整描述子群穿过自然投影时的原像、像与核。

更一般地，任何满同态 $\phi :G\to Q$ 都可先由第一同构定理理路群第一同构定理First isomorphism theorem for groups群同态的定义域商去其核后，与同态像自然同构。识别为 $G/\ker \phi \cong Q$，再把这里的对应定理转移到 $\phi$ 上。因此满同态的目标子群与包含核的源子群一一对应；自然投影只是这一事实的标准模型。