群的对应定理

形式陈述 ​

设 $N⊴G$，$\pi :G\to G/N$ 为自然投影。映射

$$H⟼H/N$$

在所有满足 $N\le H\le G$ 的子群与 $G/N$ 的全部子群之间给出双射，其逆映射为

$$\bar{H}⟼{\pi }^{-1}(\bar{H}).$$

该对应保持包含：若 $N\le H\le K\le G$，则 $H/N\le K/N$；反之亦然。它还保持相应 ambient group 中的正规性：

$$H⊴G⟺H/N⊴G/N.$$

更局部地，$H⊴K$ 当且仅当 $H/N⊴K/N$。若指数有限，则

$$[K:H]=[K/N:H/N],$$

且在 $H⊴K$ 时有 $(K/N)/(H/N)\cong K/H$。

证明的核心是投影的像与原像。若 $N\le H$，则 ${\pi }^{-1}(H/N)=H$；若 $\bar{H}\le G/N$，则 $N\le {\pi }^{-1}(\bar{H})$ 且 $\pi ({\pi }^{-1}(\bar{H}))=\bar{H}$。两种操作互逆，包含、正规性和陪集对应再由 $\pi$ 直接检验。

直觉 ​

商掉 $N$ 后，同一陪集中的元素无法再被区分。原群的一个子群若要在商群中形成完整对象，就必须已经包含所有被压成单位元的元素，即包含 $N$。因此对应定理不是凭空产生新子群，而是筛出原群中在这次辨识下仍可见的那部分子群格。

投影原像是理解定理最稳妥的方向：商群中的任一子群拉回后自动成为包含 $N$ 的子群。再投影回去不会丢失信息，因为此前加入的恰好只有核 $N$。

例子与边界 ​

取 $G=\mathbb{Z}$、$N=12\mathbb{Z}$。包含 $12\mathbb{Z}$ 的子群恰是 $d\mathbb{Z}$，其中 $d\mid 12$；它们分别对应 $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ 的子群。例如

$$4\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}=\{0+12\mathbb{Z},4+12\mathbb{Z},8+12\mathbb{Z}\},$$

是一个三阶子群，其原像正是 $4\mathbb{Z}$。包含链 $12\mathbb{Z}\le 4\mathbb{Z}\le 2\mathbb{Z}\le \mathbb{Z}$ 投影后仍保持同一方向。

不是 $G$ 的每个子群都能写成 $H/N$。例如 $5\mathbb{Z}$ 不包含 $12\mathbb{Z}$，表达式 $5\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ 不是群商；它在自然投影下的像其实是整个 $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$。同样，“正规性保持”必须写清 ambient group：$H/N$ 在 $K/N$ 中正规对应 $H$ 在 $K$ 中正规，不应自动升级为在整个 $G/N$ 中正规。

推论与应用 ​

对应定理把研究商群公理库商群Quotient group正规子群的陪集集合上诱导出的群。的子群问题转回原群。例如，$G/N$ 是简单群，当且仅当 $G$ 在 $N$ 与 $G$ 之间没有其他正规子群。有限情形的指数保持还让商群中的 Lagrange 计数直接对应到原群的子群链。

该定理与三个同构定理各有重心：第一同构定理由同态的核与像构造商；第二同构定理比较 $H$ 进入 $G/N$ 后的核与像；第三同构定理描述连续取商。对应定理则组织整个子群格，避免在每个具体商群中重复求解同一原像问题。

参考资料

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., §3.3.
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Chapter 2.