等价关系

等价关系允许有目的地忽略差异，但要求“视为同类”能够稳定地传递。模 $3$ 分类忽略相差多少个 $3$，保留余数；给分数约分忽略分子分母的共同倍数，保留有理数的值。每一种等价关系都在规定哪些信息保留、哪些信息被舍弃。

为什么两类不能只重叠一部分？若 $z\in [x]\cap [y]$，就有 $z\sim x$ 和 $z\sim y$。先把第一条反向，再接上第二条，得到 $x\sim z\sim y$，所以 $x\sim y$。任取 $u\in [x]$，沿 $u\sim x\sim y$ 得 $u\in [y]$，故 $[x]\subseteq [y]$；交换 $x,y$ 得反向包含，两类必相等。

自反性承担的是另一件事：$x\sim x$ 保证 $x\in [x]$，因此类不会漏掉任何元素。分类的“不重叠”和“不遗漏”分别在这里得到保证。

分类后的计算必须与代表元无关 ​

整数模 $3$ 的同余定义为 $a\sim b⟺a-b=3k$，其中 $k$ 为某个整数。它确实满足三条公理：$a-a=3\cdot 0$；若 $a-b=3k$，则 $b-a=3(-k)$；若再有 $b-c=3\ell$，则 $a-c=3(k+\ell )$。余数只有 $0,1,2$ 三种，因此恰有三个类 $[0],[1],[2]$。

这些类还可以相加，但必须验证换代表元不会改变结果。商集条目理路商集Quotient set · Set of equivalence classes等价关系的所有等价类组成的集合。用 $[a]+[b]=[a+b]$ 完整说明这一步，也区分了类本身与选出的代表。

相反，想在等价类上定义“$[a]$ 的奇偶性”就失败了，因为 $1\sim 4$，两者奇偶性不同。等价关系本身合法，不表示任意函数或运算都能自动移到商集上。函数 $f$ 能下降到等价类，准确条件是 $x\sim y\Rightarrow f(x)=f(y)$。

接近不是同类 ​

实数上的 $x\sim y⟺|x-y|<1$ 自反且对称，却不传递：$0$ 与 $0.75$ 接近，$0.75$ 与 $1.5$ 接近，$0$ 与 $1.5$ 却不接近。若额外取传递闭包，含义已经改变；在整条实数轴上，任意两点都能用有限段小于 $1$ 的步长连接，结果反而只剩一个类。

在实向量空间中，规定 $v\sim w$ 当且仅当 $v=\lambda w$ 对某个非零实数 $\lambda$ 成立，也得到等价关系。标量 $1$ 保证自反，取倒数保证对称，相乘保证传递。限制在非零向量时，每类是某条过原点直线去掉原点后的所有向量；若允许零向量，还会多出单独的零类。

无向图可达性也是等价关系；有向图的单向可达性只给预序，相互可达才划出强连通分量。这里允许长度为零的路径，以保证自反性。

偏序的对称部分只剩相等，因为反对称性把 $x⪯y$ 与 $y⪯x$ 合成 $x=y$；偏序关系本身通常不对称。

商集理路商集Quotient set · Set of equivalence classes等价关系的所有等价类组成的集合。把每个等价类视为一个新对象。群的正规子群、环的理想、拓扑中的同伦、自动机最小化中的不可区分性，都用等价关系压缩冗余表示。

等价关系与集合划分理路集合划分Set partition把集合表示为两两不交非空块且其并为全体的块族。在结构上等价。若关系只满足自反与传递，得到的是预序；再按

取商，才能得到真正的偏序。