形式陈述

集合 $A$$A$ 上的关系 $\sim$$\sim$ 是等价关系，当且仅当对所有 $x,y,z\in A$$x,y,z\in A$ 满足

$$ x\sim x,\qquad x\sim y\Rightarrow y\sim x,\qquad x\sim y\land y\sim z\Rightarrow x\sim z. $$$$x\sim x,x\sim y\Rightarrow y\sim x,x\sim y\wedge y\sim z\Rightarrow x\sim z.$$

三项分别为自反性、对称性和传递性。

直觉

等价关系把对象按某种“忽略细节后的相同”分组。它不是普通相似度；缺少任一公理都可能导致分组重叠或不完整。

例子与边界

整数模 $n$$n$ 同余、集合的等势、程序项的 $\alpha$$\alpha$-等价都是等价关系。实数上的 $x\le y$$x\le y$ 不对称；“相差不超过 1”通常不传递，二者都不是等价关系。

推论与应用

每个等价关系产生互不相交且覆盖全集的等价类；反之，每个分割定义一个等价关系。商集、商群、同伦类和语义等价都依赖此对应。

参考资料

• Paul R. Halmos, Naive Set Theory, 1960; Dover reprint 2017, §7。
• Daniel J. Velleman, How to Prove It: A Structured Approach, 3rd ed., Cambridge University Press, 2019, Relations chapter。