形式陈述

设 $R$$R$ 为交换含幺环，理想 $I_1,\ldots,I_n$$I_1,\dots ,I_n$ 两两互素，即 $I_i+I_j=R$$I_i+I_j=R$（$i\ne j$$i\ne j$）。规范同态

$$ \Phi:R\to\prod_{i=1}^n R/I_i,\qquad r\mapsto(r+I_1,\ldots,r+I_n) $$$$\mathrm{\Phi }:R\to \prod _{i=1}^{n}R/I_i,r\mapsto (r+I_1,\dots ,r+I_n)$$

是满射，核为 $\bigcap_i I_i$$\bigcap _i{I}_i$。两两互素还保证 $\bigcap_i I_i=\prod_i I_i$$\bigcap _i{I}_i=\prod _i{I}_i$，故第一同构定理给出

$$ R/\prod_i I_i\cong\prod_i R/I_i. $$$$R/\prod _i{I}_i\cong \prod _{i}R/I_i.$$

对两个理想，满射性可由 $1=a+b$$1=a+b$（$a\in I,b\in J$$a\in I,b\in J$）显式构造同时满足两个剩余类的元素。

直觉

互素理想像彼此独立的模条件：每个坐标可单独指定，环中存在一个元素同时实现全部局部剩余。

例子与边界

在 $\mathbb Z$$\mathbb{Z}$ 中取 $(m),(n)$$(m),(n)$ 且 $\gcd(m,n)=1$$gcd(m,n)=1$，得到 $\mathbb Z/(mn)\cong\mathbb Z/m\times\mathbb Z/n$$\mathbb{Z}/(mn)\cong \mathbb{Z}/m\times \mathbb{Z}/n$。在 $F[x]$$F[x]$ 中，互素多项式 $f,g$$f,g$ 给出 $F[x]/(fg)\cong F[x]/(f)\times F[x]/(g)$$F[x]/(fg)\cong F[x]/(f)\times F[x]/(g)$。若理想不互素，映射一般不满：模 $4$$4$ 与模 $2$$2$ 的两个剩余必须相容，不能任意指定。即使不互素，核仍是交 $I\cap J$$I\cap J$，但交未必等于乘积。定理给出的解只在模交（互素时模乘积）意义下唯一，不是环中字面唯一。无限族理想不能直接照搬有限乘积的满射结论。

推论与应用

环版中国剩余定理分解商环、同余方程与有限代数，应用于快速模运算、幂等元分解和局部—整体计算。

参考资料

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004，Ch. 7, Chinese remainder theorem for ideals。
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011，Ch. 11, comaximal ideals and product decompositions。