环上的中国剩余定理

模一个理想，表示忽略落在这个理想中的差异。给定几个局部剩余类，CRT 回答怎样用一个环元素同时实现它们。条件 $I+J=R$ 提供了上面的 $a,b$：一个保留第一坐标、另一个保留第二坐标，拼接时各司其职。

两个元素在所有局部坐标上相同，恰好表示它们的差落在每个 $I_i$ 中，即落在交理想里。取商就把这些无法由局部坐标区分的元素合并。因此，唯一的是 $R/\bigcap _i{I}_i$ 中的类；理想两两互素时，还能把分母写成乘积理想。

整数余数与多项式取值 ​

在 $\mathbb{Z}$ 中，$(m)+(n)=\mathbb{Z}$ 等价于 $gcd(m,n)=1$。例如取 $(3)$ 与 $(5)$，得到

这恢复了整数 CRT。换成 $F[x]$ 中的互素多项式 $f,g$，便得到 $F[x]/(fg)\cong F[x]/(f)\times F[x]/(g)$。

取 $f=x$、$g=x-1$ 时，两个局部坐标就是多项式在 $0$ 与 $1$ 处的值。若指定这两个值为 $u,v$，次数至多为一的多项式 $p(x)=u+(v-u)x$ 就同时实现了它们。其他具有相同两点取值的多项式与 $p$ 相差 $x(x-1)$ 的倍数，所以它们在 $F[x]/(x(x-1))$ 中属于同一类。

共享约束限制局部坐标 ​

取整数理想 $(2)$ 与 $(4)$。一个整数模 $2$ 的余数由它模 $4$ 的余数决定，因而局部坐标 $(0mod2,1mod4)$ 无法实现，规范映射不是满射。它的核仍为交理想 $(2)\cap (4)=(4)$，而乘积理想是 $(8)$；这也展示了失去互素条件后，交与积的区别。

有限性同样参与定理。在 $\mathbb{Z}$ 中，对所有素数 $p$ 取理想 $(p)$，它们仍两两互素，但映射 $\mathbb{Z}\to \prod _p\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 不可能满射：左边只有可数多个整数，右边包含不可数多个余数组合。

在商环 $R/\prod _i{I}_i$ 中，对应坐标向量 $(0,\dots ,1,\dots ,0)$ 的元素记为 $e_i$。逐坐标计算得到 $e_i^2=e_i$、$e_i{e}_j=0$（$i\ne j$）以及 $\sum _i{e}_i=1$。这些正交幂等元把商环分成可分别计算、再重新拼合的部分，是有限交换环结构分解的一种基本工具。

多项式版本则把模乘积的运算拆成模各因子的运算。上述两点取值例子展示了插值如何成为余类拼接；更一般的模多项式计算与编码也采用这种局部计算、整体恢复的方式。