形式陈述

若 $(G,\ast)$$(G,\ast )$ 是群且 $H\subseteq G$$H\subseteq G$，当 $H$$H$ 在同一运算下构成群时称 $H\le G$$H\le G$。等价的单步判据是：$H\ne\varnothing$$H\ne \varnothing$ 且对任意 $a,b\in H$$a,b\in H$ 有 $a\ast b^{-1}\in H$$a\ast b^{-1}\in H$。

直觉

子群是在大群内部对组合和撤销都封闭的一组变换，因此它保留完整的群结构。

例子与边界

偶数 $2\mathbb Z$$2\mathbb{Z}$ 是 $(\mathbb Z,+)$$(\mathbb{Z},+)$ 的子群。正整数不是整数加法群的子群，因为不含逆元。任意群至少有平凡子群 $\{e\}$$\{e\}$ 和自身。

推论与应用

陪集、正规子群、商群以及拉格朗日定理都以子群为入口。

参考资料

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., §2.1.
• Joseph J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4th ed., Chapter 1.