子群

子群是大群内部一套自给自足的动作。只要从 $H$ 中取动作、复合这些动作或把它们撤销，结果都不会跑出 $H$。普通子集只记录成员归属；子群还要求运算闭合。一个集合即使看起来很自然，也可能因漏掉单位元、逆元或某个乘积而无法成为子群。

子群判据中的 $x{y}^{-1}$ 还带有“比较”含义：从 $y$ 所在状态回退，再执行 $x$，得到的相对动作必须仍在 $H$。这正是陪集判定 $xH=yH⟺y^{-1}x\in H$ 的局部原型。

有限情形有一个常用简化。若 $H$ 是有限、非空的，并且只已知它对乘法封闭，那么对任意 $h\in H$，幂序列必重复，于是某个正幂等于 $e$，再一个正幂给出 $h^{-1}$；因此 $H$ 已是子群。无限集合没有这个保证，不能把有限性悄悄删掉。

在 $(\mathbb{Z},+)$ 中，每个子群都形如 $n\mathbb{Z}$。证明可从良序原理出发：若非零子群 $H$ 中最小正数为 $n$，对任意 $a\in H$ 作带余除法 $a=qn+r$，则 $r=a-qn\in H$；最小性迫使 $r=0$。因此 $H$ 由单一步长铺满，不能任意挑选整数。

在 ${\mathrm{GL}}_n(F)$ 中，行列式为 $1$ 的矩阵组成 ${\mathrm{SL}}_n(F)$。单位矩阵的行列式为 $1$，乘积的行列式相乘，逆矩阵的行列式是原行列式的倒数，所以子群判据逐项成立。这一例子随后会成为同态之核与正规子群的典型来源。

任意群至少有平凡子群 $\{e\}$ 和自身 $G$。任意一族子群的交仍是子群，因为单位元属于每一项，而乘法和取逆可逐项检查；这个事实保证生成子群公理库生成子群Generated subgroup · Subgroup generated by a set包含指定元素集的最小子群，也就是生成元及其逆元的一切有限乘积。可以定义为所有候选子群的交。

并集通常不是子群。若 $H,K\le G$，那么 $H\cup K$ 是子群当且仅当 $H\subseteq K$ 或 $K\subseteq H$：若两者互不包含，取 $h\in H\setminus K$、$k\in K\setminus H$，则 $hk$ 不可能落入任一方，否则可用逆元推出矛盾。正整数在 $(\mathbb{Z},+)$ 中则展示另一种失败：它对加法封闭，却既不含 $0$，也不含负数。

所有子群按包含关系形成子群格。交给出共同部分，两个子群的并一般要先取生成子群才得到同时容纳它们的最小子群。若 $H,K\le G$，集合积 $HK=\{hk:h\in H,k\in K\}$ 也不总是子群；当其中一方在合适的群中正规时，闭合性才有稳定保证，这正是群第二同构定理的入口。

陪集公理库陪集Coset将子群整体左移或右移所得的集合，也是群按该子群分块的等价类。把一个子群平移到群的不同位置；有限群中的Lagrange 定理公理库拉格朗日定理Lagrange's theorem有限群的阶等于子群阶与指数之积，因此子群阶必整除群阶。由陪集分划比较 $|H|$ 与 $|G|$。若子群还在全群共轭下保持不变，就成为正规子群公理库正规子群Normal subgroup在全群共轭下保持不变、因而可作为同态核并形成商群的子群。，从而可以把它压成单位元并构造商群。

子群也是群作用和同态的自然落点：稳定子是子群，同态像是子群，核则是更强的正规子群。因而“先验证某集合是子群”常是后续结构论证的第一步；跳过它会让随后的指数、商或正规性论证失去前提。