子群

子群是大群内部一套自给自足的动作。只要从 $H$ 中取动作、复合这些动作或把它们撤销，结果都不会跑出 $H$。普通子集只记录成员归属；子群还要求运算闭合。一个集合即使看起来很自然，也可能因漏掉单位元、逆元或某个乘积而无法成为子群。

子群判据中的 $x{y}^{-1}$ 还带有“比较”含义：从 $y$ 所在状态回退，再执行 $x$，得到的相对动作必须仍在 $H$。这正是陪集判定 $xH=yH⟺y^{-1}x\in H$ 的局部原型。

有限情形有一个常用简化。若 $H$ 是有限、非空的，并且对乘法封闭，则 $h,h^2,\dots$ 都在 $H$。必有 $h^i=h^j$，其中 $1\le i<j$；在母群消去 $h^i$，得 $h^{j-i}=e\in H$。若 $j-i>1$，则 $h^{j-i-1}$ 给出逆元；若 $j-i=1$，则 $h=e$ 已是自己的逆元。因此 $H$ 是子群。无限集合没有幂必重复的保证，不能把有限性删掉。

先在整数加法群中检查 $H=6\mathbb{Z}=\{6k:k\in \mathbb{Z}\}$。它含 $0$，且任意两项之差 $6r-6s=6(r-s)$ 仍属于 $H$，所以是子群。只取正的 $6$ 的倍数则不行：例如 $6-12=-6$ 已经跑出集合。

事实上，$(\mathbb{Z},+)$ 的每个子群都形如 $n\mathbb{Z}$，其中 $n\ge 0$。$H=\{0\}$ 对应 $n=0$；其余情况中，取逆保证 $H$ 有正元素，良序原理给出最小正元素 $n$。对任意 $a\in H$ 作带余除法 $a=qn+r$、$0\le r<n$。由于 $qn\in H$，差 $r=a-qn$ 也在 $H$；若 $r>0$ 就违反 $n$ 的最小性，因此 $r=0$。这证明 $H\subseteq n\mathbb{Z}$；反向包含来自 $n\in H$ 以及对加法和取负的封闭性。两边合起来，才得到 $H=n\mathbb{Z}$。

在 ${\mathrm{GL}}_n(F)$ 中，行列式为 $1$ 的矩阵组成 ${\mathrm{SL}}_n(F)$。单位矩阵的行列式为 $1$，乘积的行列式相乘，逆矩阵的行列式是原行列式的倒数，所以子群判据逐项成立。这一例子随后会成为同态之核与正规子群的典型来源。

任意群至少有平凡子群 $\{e\}$ 和自身 $G$。任意一族子群的交仍是子群，因为单位元属于每一项，而乘法和取逆可逐项检查；这个事实保证生成子群理路生成子群Generated subgroup · Subgroup generated by a set包含指定元素集的最小子群，也就是生成元及其逆元的一切有限乘积。可以定义为所有候选子群的交。

并集通常不是子群。例如 $2\mathbb{Z}$ 与 $3\mathbb{Z}$ 都是整数加法群的子群，但它们的并集含 $2,3$，却不含和 $5$。一般地，若 $H,K\le G$，那么 $H\cup K$ 是子群当且仅当 $H\subseteq K$ 或 $K\subseteq H$：若两者互不包含，取 $h\in H\setminus K$、$k\in K\setminus H$，则 $hk$ 不可能落入任一方，否则可用逆元推出矛盾。正整数在 $(\mathbb{Z},+)$ 中则展示另一种失败：它对加法封闭，却既不含 $0$，也不含负数。

所有子群按包含关系形成子群格。交给出共同部分，两个子群的并一般要先取生成子群才得到同时容纳它们的最小子群。若 $H,K\le G$，集合积 $HK=\{hk:h\in H,k\in K\}$ 也不总是子群；若其中一方正规于母群 $G$，例如 $K⊴G$，则 $HK$ 是子群：在乘积 $h_1{k}_1{h}_2{k}_2$ 中，可把中间两项改写为 $h_2(h_2^{-1}{k}_1{h}_2)$，而括号中的共轭仍在 $K$；逆元也可按同样方式改排。这个充分条件正是群第二同构定理的入口，并不意味着只有正规子群之间才能形成子群积。

陪集理路陪集Coset将子群整体左移或右移所得的集合，也是群按该子群分块的等价类。把一个子群平移到群的不同位置；有限群中的Lagrange 定理理路拉格朗日定理Lagrange's theorem有限群的阶等于子群阶与指数之积，因此子群阶必整除群阶。由陪集分划比较 $|H|$ 与 $|G|$。若子群还在全群共轭下保持不变，就成为正规子群理路正规子群Normal subgroup在全群共轭下保持不变、因而可作为同态核并形成商群的子群。，从而可以把它压成单位元并构造商群。

子群也是群作用和同态的自然落点：稳定子是子群，同态像是子群，核则是更强的正规子群。因而“先验证某集合是子群”常是后续结构论证的第一步；跳过它会让随后的指数、商或正规性论证失去前提。

若群还带光滑流形结构，子群不一定继承良好的流形拓扑。闭子群定理理路闭子群定理Closed subgroup theorem · Cartan closed subgroup theoremLie 群的拓扑闭子群自动是嵌入 Lie 子群；解释闭性在极限与局部坐标中的作用，并用环面稠密子群说明边界。说明拓扑闭性足以让子群成为嵌入 Lie 子群；环面中的无理斜率稠密子群则说明为什么不能删去这个条件。