单群

商群把一个正规子群里的差异统一视为不可见。单群的含义是：这种保持群运算的压缩，除了完全不压缩和压成一个点，没有中间选择。

这使单群成为正规分解的基本因子：沿子群列逐层取商，当相邻商已经是单群时，这一层就无法再通过中间正规子群细分。单性关注的是这种分解方式，群中的非正规子群仍可提供丰富的内部结构。

阿贝尔单群恰是素数阶循环群 ​

若 $G$ 阿贝尔且单，取 $g\ne e$，则非平凡子群 $⟨g⟩$ 自动正规，只能等于 $G$，所以 $G$ 循环。它不能无限：无限循环群的 $⟨g^2⟩$ 是非平凡真子群；有限阶若合成，也有非平凡真子群。因此 $G\cong C_p$，其中 $p$ 为素数。反过来，素数阶群没有非平凡真子群，当然是单群。

$C_6$ 的 $C_2,C_3$ 子群都是正规子群，所以它不是单群。$S_3$ 的 $A_3$ 也正规且非平凡、真；$A_4$ 则含正规 Klein 四元群

共轭只是重新标号，会把三个双换位彼此交换，因此该集合在共轭下稳定。

非阿贝尔例子与共轭类计数 ​

交错群 $A_n$ 在 $n\ge 5$ 时是非阿贝尔单群。对 $A_5$，可以用共轭类理路共轭类Conjugacy class群中元素在内自同构下形成的轨道，刻画改变群内坐标后保持不变的元素类型。直接证明这一点。它的非单位元分为三循环、双换位和五循环。

在 $A_5$ 中，与一个三循环交换的元素只有它的三个幂：另外两个点的交换是奇置换，已被排除。$(12)(34)$ 的中心化子为 $\{e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$，而五循环的中心化子是它生成的五阶循环群。因此三种元素的共轭类大小分别为 $60/3=20$、$60/4=15$、$60/5=12$。五循环共有 $24$ 个，分成两个大小为 $12$ 的类，故完整的类大小为

正规子群是包含单位元类的共轭类之并，其阶由Lagrange 定理理路拉格朗日定理Lagrange's theorem有限群的阶等于子群阶与指数之积，因此子群阶必整除群阶。又必须整除 $60$。从上述类大小中选取若干项并包含 $1$，能整除 $60$ 的和只有 $1$ 与 $60$，所以 $A_5$ 是单群。与此同时，$(123)$ 与 $(12345)$ 分别生成三阶和五阶真子群；单性说明这些子群不正规。

特征子群与正规子群 ​

“没有非平凡真特征子群”比单性弱。以 $C_2\times C_2$ 为例，它的三个阶 $2$ 子群全都正规，因为群阿贝尔；但自同构可以任意置换三个非单位元，故没有一个阶 $2$ 子群被所有自同构固定。它没有非平凡真特征子群，却不是单群。

从作用核判断忠实性 ​

群作用给出同态 $G\to \mathrm{Sym}(X)$。若 $G$ 单，只要某个元素移动了某个点，作用核就不是 $G$，因而只能是 $\{e\}$，作用是忠实的。例如让 $A_5$ 自然置换五个点，再额外加入一个被全群固定的点：作用仍忠实，同时有一条五点轨道和一条单点轨道。忠实性由核决定，固定点与传递性则描述轨道的形状。

对非阿贝尔单群，交换子群 $[G,G]$ 正规且非平凡，所以必等于 $G$；这样的群称为完美群。任何到阿贝尔群的同态都消去交换子，因而只能是平凡同态。阿贝尔单群 $C_p$ 则有 $[C_p,C_p]=\{e\}$，其阿贝尔化仍是自身。

有限群可沿正规层级形成组成列，每个相邻商都是单群。商群理路商群Quotient group将正规子群压成单位元后，在其陪集商集上诱导出的群。记录每一步剩余的结构，Jordan–Hölder 定理保证组成因子的同构类型与重数不随组成列改变。然而因子并不能唯一重建原群：$C_4$ 与 $C_2\times C_2$ 都有两个 $C_2$ 组成因子，却不同构，还需知道这些因子如何扩张组合。

中心提供了一种排除单性的办法。若群中心是非平凡真子群，它本身就是一个正规子群。特别地，阶为 $p^n$、$n\ge 2$ 的有限 $p$-群由类方程理路类方程Class equation of a finite group将有限群按共轭类分拆，以中心大小与中心化子指数表达群的阶。总有非平凡中心：若中心是真子群，单性立即排除；若中心是全群，群就阿贝尔，而其阶不是素数，仍不是单群。结合群作用理路群作用Group action群元素以保持单位元与乘法的方式作用于集合。的核，还能从具体作用中寻找其他正规子群。