形式陈述

非平凡群 $G$$G$ 称为单群，若其正规子群只有 $1$$1$ 与 $G$$G$。等价地，任意群同态 $\varphi:G\to H$$\phi :G\to H$ 的核只能是 $1$$1$ 或 $G$$G$，所以非平凡同态必为单射。阿贝尔单群恰为素数阶循环群 $C_p$$C_p$：阿贝尔群的所有子群都正规，而无非平凡真子群迫使其阶为素数。非阿贝尔单群没有非平凡阿贝尔商；其交换子群是非平凡正规子群，故等于自身，即为完美群。定义通常明确排除平凡群。

直觉

单群像群论中的“不可再取正规商分解的原子”。普通子群仍可能很多，但没有一个能作为保持群运算的全局同余块。

例子与边界

$C_p$$C_p$ 对素数 $p$$p$ 是单群；$C_6$$C_6$ 含正规子群 $C_2,C_3$$C_2,C_3$，不是单群。$A_n$$A_n$ 在 $n\ge5$$n\ge 5$ 时是非阿贝尔单群，而 $A_4$$A_4$ 含 Klein 四元正规子群。$S_3$$S_3$ 含正规 $A_3$$A_3$，也不是单群。一个群没有非平凡特征子群并不足以单纯推出单性，因为仍可能有非特征正规子群。单群不意味着无真子群，也不意味着所有非单位元阶相同。有限单群分类是深刻定理，但“单群”定义本身不依赖该分类。

推论与应用

单群是有限群的组成因子；Jordan–Hölder 理论把有限长度群的正规列分解为单群因子。它们也控制群作用的核和同态的忠实性。

参考资料

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004，Ch. 4, simple groups and alternating groups。
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011，Ch. 4, normal subgroups and simplicity。