单群

单群像群论中的“不可再取正规商分解的原子”。普通子群仍可能很多，但没有一个能作为保持群运算的全局同余块。

单群没有非平凡正规子群，因而不能再通过商群分解出更小的群结构。它在有限群理论中扮演类似素数的角色：组成列把一般有限群拆成单群因子，但这种“分解”记录的是正规层级而非元素乘积分解。阿贝尔单群恰是素数阶循环群。

$C_p$ 对素数 $p$ 是单群；$C_6$ 含正规子群 $C_2,C_3$，不是单群。$A_n$ 在 $n\ge 5$ 时是非阿贝尔单群，而 $A_4$ 含 Klein 四元正规子群。$S_3$ 含正规 $A_3$，也不是单群。一个群没有非平凡特征子群并不足以单纯推出单性，因为仍可能有非特征正规子群。单群不意味着无真子群，也不意味着所有非单位元阶相同。有限单群分类是深刻定理，但“单群”定义本身不依赖该分类。

单性对同态的核给出一个极强的二分法。若 $G$ 是单群，且

不是零同态，那么 $\ker \phi$ 是正规子群且不等于 $G$，只能为 $\{e\}$，所以 $\phi$ 必为单射。等价地，单群的每个非平凡群作用都是忠实作用：作用同态的核若非整个群，就只能平凡。这里“非平凡”不能删除——把所有元素都作用为恒等置换时，核仍是整个 $G$。这一性质解释了单群为何容易作为其他群中的刚性子结构出现，同时也再次区分了“没有正规子群”与“没有普通子群”。

单群是有限群的组成因子；Jordan–Hölder 理论把有限长度群的正规列分解为单群因子。它们也控制群作用的核和同态的忠实性。

正规子群公理库正规子群Normal subgroup在全群共轭下保持不变、因而可作为同态核并形成商群的子群。与 商群公理库商群Quotient group将正规子群压成单位元后，在其陪集商集上诱导出的群。给出一般 群结构公理库群Group配备结合二元运算、单位元，并且每个元素都有逆元的集合。的逐层分解；单群正是这条正规分解链无法继续细化时出现的因子。Jordan–Hölder 定理保证有限长度群的组成因子在重排意义下唯一，有限单群分类则限定了这些基本块的全部可能类型。该结构还直接约束群作用的核、Galois 群的正规扩张层次以及置换表示的忠实性。