商群

商群把 $N$ 内的变化宣布为不可观察。两个元素 $a,b$ 得到同一个新元素，当且仅当它们相差一个 $N$ 中的因子；整个 $N$ 因而塌缩成新群的单位元。其余陪集不是被删除后的残片，而是按同样规则合并出的等价类。

正规性表达“这次忽略与乘法相容”。若先替换 $a$ 的代表元再乘 $b$，夹在中间的 $N$-因子会被 $b$ 共轭；只有共轭仍留在 $N$ 中，结果才落回同一个陪集。代表元计算中的这一行，正是正规性不可省略的原因。

自然投影还给出商群的操作性含义：先在 $G$ 中计算，再投影到陪集，与先投影再在商群中计算完全一致。商群保留的正是所有无法区分 $N$ 内元素的群论信息。

在加法群 $\mathbb{Z}$ 中，取正整数 $n$，$n\mathbb{Z}$ 正规，商群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 的元素是余数类，运算为

例如模 $5$ 时，$(2+5\mathbb{Z})+(4+5\mathbb{Z})=6+5\mathbb{Z}=1+5\mathbb{Z}$。若把两个代表元换成 $7$ 和 $-1$，它们仍分别属于原来的两类，和也仍为 $6$；任意再换代表元，只会使和增加 $5$ 的倍数。单位元是 $5\mathbb{Z}$，$2+5\mathbb{Z}$ 的逆元是 $-2+5\mathbb{Z}=3+5\mathbb{Z}$。通常的模加法由此逐项落实为类上的群运算。

符号同态 $\mathrm{sgn}:S_3\to \{\pm 1\}$ 的核是 $A_3$，所以 $S_3/A_3\cong C_2$。两个陪集分别记录偶置换和奇置换；商群忘掉每个类别内部的具体置换，只保留奇偶性。

在正方形对称群 $D_4$ 中，旋转子群 $⟨r⟩$ 正规且指数为 $2$，

这里 $r$ 是四分之一周旋转，$s$ 是反射；商群只辨别一个对称是旋转还是反射。反射子群 $⟨s⟩$ 不正规，因而不能照搬陪集乘法公式。

要直接看出失败，可以在 $S_3$ 中取 $H=\{e,(12)\}$。同一个输入陪集 $H$ 既能用 $e$ 代表，也能用 $(12)$ 代表。若试着把它乘以 $(13)H$，这两种选择分别给出

同一对输入集合得到不同输出，说明这条规则连函数都没有定义出来，尚未轮到检验群公理。这里所有置换都按右侧先作用计算。

商群通常不应被看成 $G$ 的子群：它的元素是集合 $gN$，不是原来的单个元素。有时甚至不存在同构的子群：$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 有非零的二阶元素，而 $\mathbb{Z}$ 中任何非零整数反复相加都不会回到零，故其子群不可能同构于这个商。即使能找到同构子群，这种实现也不由商构造自动指定。类似地，$G/N\cong H$ 只表示存在保运算双射，不表示两个底层集合字面相等。

商群具有一个精确的因子化性质。若 $\phi :G\to H$ 是群同态且 $N\subseteq \ker \phi$，则存在唯一同态

使 $\phi =\overline{\phi }\circ \pi$。良定义性正来自 $gN=g^{\prime }N\Rightarrow g^{-1}{g}^{\prime }\in N\subseteq \ker \phi$。保乘法性由 $\overline{\phi }(abN)=\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)$ 得到；唯一性则因为每个陪集都是某个 $g$ 的投影，等式 $\phi =\overline{\phi }\circ \pi$ 已经迫使它取值为 $\phi (g)$。因此凡是“看不见 $N$”的同态都会、也只能经过 $G/N$。

取 $N=\ker \phi$ 时，诱导映射不再有碰撞，得到第一同构定理理路群第一同构定理First isomorphism theorem for groups群同态的定义域商去其核后，与同态像自然同构。

第二同构定理理路群的第二同构定理Second isomorphism theorem for groups · Diamond isomorphism theorem子群投影到商群时，交集是核，子群与正规子群的乘积描述其像。研究任意子群投影到 $G/N$ 后的核与像；对应定理理路群的对应定理Correspondence theorem for groups · Lattice theorem商群的子群与原群中包含被商正规子群的子群一一对应，并保持格结构与正规性。描述商群的全部子群；第三同构定理理路群的第三同构定理Third isomorphism theorem for groups沿嵌套正规子群分两次取商，与直接商掉较大的正规子群自然同构。则说明沿正规链分两步取商与一次取商相容。

把交换子子群 $[G,G]$ 商掉得到阿贝尔化 $G^{\mathrm{ab}}$；把自由群商掉关系的正规闭包得到群的呈示。两者都体现同一个设计原则：先指出希望视为单位元的关系，再取能与乘法相容的最小正规子群作为核。

二同源下降理路二同源下降2-isogeny descent · 椭圆曲线平方类下降用平方类记录有理二同源的像，将无限有理点问题压缩到有限组四次方程，并精确核算两个同源商到倍点商的核修正。给出两个商不能机械相乘的实例。对 $\varphi :G\to G^{\prime }$、$\hat{\varphi }:G^{\prime }\to G$ 且复合为倍点，令 $K=\ker \hat{\varphi }$。映射 $G^{\prime }/\varphi (G)\to \hat{\varphi }(G^{\prime })/2G$ 的核是 $K/(K\cap \varphi (G))$；所以有限指数相乘时要除去这个核的大小。二同源的核有两个点，但若它们已全部在第一映射像里，修正因子就是一。决定修正的是核与像的交，不只是单个映射的核大小。