形式陈述

若 $N\trianglelefteq G$$N⊴G$，定义 $a\sim b$$a\sim b$ 当且仅当 $a^{-1}b\in N$$a^{-1}b\in N$。等价类是左陪集 $aN$$aN$，商集记为 $G/N$$G/N$。在其上定义

$$ (aN)(bN)=abN. $$$$(aN)(bN)=abN.$$

正规性保证该结果与代表元选择无关；单位元是 $N$$N$，且 $(aN)^{-1}=a^{-1}N$$(aN{)}^{-1}=a^{-1}N$，于是 $G/N$$G/N$ 构成群。

直觉

商群把相差一个 $N$$N$ 中元素的群元素视为同一个对象。它不是简单删去 $N$$N$，而是把 $N$$N$ 所描述的“不可区分变化”压缩为新的单位元。

例子与边界

$n\mathbb Z\trianglelefteq\mathbb Z$$n\mathbb{Z}⊴\mathbb{Z}$，商群 $\mathbb Z/n\mathbb Z$$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 就是模 $n$$n$ 加法。又有 $S_3/A_3\cong C_2$$S_3/A_3\cong C_2$。若 $H\le G$$H\le G$ 不正规，则公式 $(aH)(bH)=abH$$(aH)(bH)=abH$ 可能随代表元变化，因此陪集集合通常不能成为商群。

推论与应用

自然投影 $\pi:G\to G/N$$\pi :G\to G/N$ 是满同态且核为 $N$$N$。商群把同态、同构定理、模结构和对称性的降维统一为同一构造。

参考资料

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004, §3.1.
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011, §2.12.