商群

商群把 $N$ 内的变化宣布为不可观察。两个元素 $a,b$ 得到同一个新元素，当且仅当它们相差一个 $N$ 中的因子；整个 $N$ 因而塌缩成新群的单位元。其余陪集不是被删除后的残片，而是按同样规则合并出的等价类。

正规性表达“这次忽略与乘法相容”。若先替换 $a$ 的代表元再乘 $b$，夹在中间的 $N$-因子会被 $b$ 共轭；只有共轭仍留在 $N$ 中，结果才落回同一个陪集。代表元计算中的这一行，正是正规性不可省略的原因。

自然投影还给出商群的操作性含义：先在 $G$ 中计算，再投影到陪集，与先投影再在商群中计算完全一致。商群保留的正是所有无法区分 $N$ 内元素的群论信息。

在加法群 $\mathbb{Z}$ 中，$n\mathbb{Z}$ 正规，商群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 的元素是余数类，运算为

通常的“模 $n$ 运算”正由这个商群构造得到，无需另加运算规则。

符号同态 $\mathrm{sgn}:S_3\to \{\pm 1\}$ 的核是 $A_3$，所以 $S_3/A_3\cong C_2$。两个陪集分别记录偶置换和奇置换；商群忘掉每个类别内部的具体置换，只保留奇偶性。

在正方形对称群 $D_4$ 中，旋转子群 $⟨r⟩$ 正规且指数为 $2$，

商群只辨别一个对称是旋转还是反射。反射子群 $⟨s⟩$ 不正规，左右陪集不同，因而不能用同一公式在其陪集集合上定义群运算。

商群通常不应被看成 $G$ 的子群：它的元素是集合 $gN$，不是原来的单个元素。即使偶然能找到与 $G/N$ 同构的子群，也需要额外选择，未必规范存在。类似地，$G/N\cong H$ 只表示存在保运算双射，不表示两个底层集合字面相等。

商群具有一个精确的因子化性质。若 $\phi :G\to H$ 是群同态且 $N\subseteq \ker \phi$，则存在唯一同态

使 $\phi =\overline{\phi }\circ \pi$。良定义性正来自 $gN=g^{\prime }N\Rightarrow g^{-1}{g}^{\prime }\in N\subseteq \ker \phi$。因此凡是“看不见 $N$”的同态都会、也只能经过 $G/N$。

取 $N=\ker \phi$ 时，诱导映射不再有碰撞，得到第一同构定理公理库群第一同构定理First isomorphism theorem for groups群同态的定义域商去其核后，与同态像自然同构。

第二同构定理公理库群的第二同构定理Second isomorphism theorem for groups · Diamond isomorphism theorem子群投影到商群时，交集是核，子群与正规子群的乘积描述其像。研究任意子群投影到 $G/N$ 后的核与像；对应定理公理库群的对应定理Correspondence theorem for groups · Lattice theorem商群的子群与原群中包含被商正规子群的子群一一对应，并保持格结构与正规性。描述商群的全部子群；第三同构定理公理库群的第三同构定理Third isomorphism theorem for groups沿嵌套正规子群分两次取商，与直接商掉较大的正规子群自然同构。则说明沿正规链分两步取商与一次取商相容。

把交换子子群 $[G,G]$ 商掉得到阿贝尔化 $G^{\mathrm{ab}}$；把自由群商掉关系的正规闭包得到群的呈示。两者都体现同一个设计原则：先指出希望视为单位元的关系，再取能与乘法相容的最小正规子群作为核。