同调的同伦不变性 | Codeboy's Blog

形式陈述

若连续映射 $f,g:X\to Y$ 同伦，则它们诱导相同的奇异同调同态：

f_*=g_*:H_n(X)\to H_n(Y)\qquad(n\ge0).

链层面的关键是存在链同伦算子 $P_n:C_n(X)\to C_{n+1}(Y)$ ，满足

g_\#-f_\#=\partial P+P\partial.

因此两链映射在循环上的差是边界。若 $f:X\to Y$ 是同伦等价，存在 $h:Y\to X$ 使 $h\circ f\simeq\operatorname{id}_X$ 、 $f\circ h\simeq\operatorname{id}_Y$ ，则

f_*:H_n(X)\xrightarrow{\cong}H_n(Y)

对所有 $n$ 都是同构。

直觉

同伦 $H:X\times I\to Y$ 把两个映射之间的连续变形分解成每个奇异单形扫过的一条棱柱。棱柱边界由两端映射出的单形与侧面组成，给出链同伦恒等式 $f_*-g_*=\partial P+P\partial$ 。对循环取同调类后边界项消失，所以同伦映射诱导同一个同调同态。

例子与边界

可缩空间与一点同伦等价，所以其约化同调全部为零。圆环带与圆周形变收缩，因而具有相同同调。逆命题不成立：同调群相同不保证空间同伦等价，甚至不能区分许多具有不同基本群或杯积结构的空间。定理说同伦映射诱导相同同态，不是说同伦映射在链群上相等；它们通常只链同伦。仅有同调同构的连续映射也不自动是同伦等价。

对圆周上的恒等映射 $f(z)=z$ 与旋转 $g(z)=e^{i\theta}z$ ，

H(z,t)=e^{it\theta}z

给出显式同伦，所以二者在 $H_1(S^1)$ 上都诱导恒等同态。常值映射在正维同调上诱导零同态，因而不可能与恒等映射同伦；同调不变量由此也能用来否定候选同伦。

推论与应用

同伦经棱柱算子变成链同伦，从而证明奇异同调的同伦不变性。于是同伦等价空间同调同构，形变收缩可安全替换复杂空间为骨架。该性质也是 Eilenberg–Steenrod 公理体系中的核心公理之一。

参考资料

Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002，Ch. 2, homotopy invariance via prism operators。
Glen E. Bredon, Topology and Geometry, Springer, 1993，Ch. IV, chain homotopies and homotopy invariance。