形式陈述

若连续映射 $f,g:X\to Y$$f,g:X\to Y$ 同伦，则它们诱导相同的奇异同调同态：

$$ f_*=g_*:H_n(X)\to H_n(Y)\qquad(n\ge0). $$$$f_{\ast }=g_{\ast }:H_n(X)\to H_n(Y)(n\ge 0).$$

链层面的关键是存在链同伦算子 $P_n:C_n(X)\to C_{n+1}(Y)$$P_n:C_n(X)\to C_{n+1}(Y)$，满足

$$ g_\#-f_\#=\partial P+P\partial. $$$$g_{\mathrm{\#}}-f_{\mathrm{\#}}=\partial P+P\partial .$$

因此两链映射在循环上的差是边界。若 $f:X\to Y$$f:X\to Y$ 是同伦等价，存在 $h:Y\to X$$h:Y\to X$ 使 $h\circ f\simeq\operatorname{id}_X$$h\circ f\simeq {\mathrm{id}}_X$、$f\circ h\simeq\operatorname{id}_Y$$f\circ h\simeq {\mathrm{id}}_Y$，则

$$ f_*:H_n(X)\xrightarrow{\cong}H_n(Y) $$$$f_{\ast }:H_n(X)\stackrel{\cong }{\to }{H}_n(Y)$$

对所有 $n$$n$ 都是同构。

直觉

同伦把映射连续地变形；棱柱算子把这段变形填成高一维链，证明变形前后送出的循环只相差一个可填充边界。

例子与边界

可缩空间与一点同伦等价，所以其约化同调全部为零。圆环带与圆周形变收缩，因而具有相同同调。逆命题不成立：同调群相同不保证空间同伦等价，甚至不能区分许多具有不同基本群或杯积结构的空间。定理说同伦映射诱导相同同态，不是说同伦映射在链群上相等；它们通常只链同伦。仅有同调同构的连续映射也不自动是同伦等价。

推论与应用

同伦不变性允许把空间形变收缩到简单骨架后计算同调，并保证同调确实只依赖拓扑的粗粒度形状。

参考资料

• Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002，Ch. 2, homotopy invariance via prism operators。
• Glen E. Bredon, Topology and Geometry, Springer, 1993，Ch. IV, chain homotopies and homotopy invariance。