形式陈述

映射 $f:(X,\tau_X)\to(Y,\tau_Y)$$f:(X,{\tau }_X)\to (Y,{\tau }_Y)$ 连续，当且仅当对每个 $U\in\tau_Y$$U\in {\tau }_Y$，逆像 $f^{-1}(U)$$f^{-1}(U)$ 都属于 $\tau_X$${\tau }_X$。

直觉

目标空间里任何可观察的开放区域，拉回源空间后仍是开放区域；映射不会制造局部上无法预见的跳跃。

例子与边界

实数通常拓扑下，这一定义与 $\varepsilon$$\epsilon$–$\delta$$\delta$ 连续等价。连续双射不一定是同胚；还需要逆映射也连续。

推论与应用

连续映射的复合仍连续；它保持紧致集的像紧致、连通集的像连通，是拓扑分类的基本态射。

参考资料

• James R. Munkres, Topology, 2nd ed., §18.
• John M. Lee, Introduction to Topological Manifolds, 2nd ed., Chapter 2.