拓扑连续性

目标空间中的开集可以看作一次局部可观测条件。连续性要求把这一条件搬回定义域后，仍可由定义域的局部信息识别。若一个输出落在 $V$ 内，那么输入附近也必须有一小片区域全部送进 $V$。

定义采用逆像，理由不是形式习惯。像集通常不保持交或补，且连续映射可以压缩整个区域；逆像无论映射是否单射、满射，都完整保存开集运算。拓扑连续由此可以稳定地复合。

连续性只约束邻近结构。它不提供距离变化率、统一误差尺度或可逆性；这些分别属于 Lipschitz/一致连续和同胚理路同胚Homeomorphism自身与逆映射都连续的双射，给出两个拓扑空间之间可逆的开集翻译。等更强概念。

对 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$、$f(x)=x^2$，先计算一次逆像：$1<x^2<4$ 等价于 $1<|x|<2$，故 $(1,4)$ 的逆像是 $(-2,-1)\cup (1,2)$。逆像可以分成两段，它收集所有满足输出条件的输入，不要求连通。

只验证这一个开集还不能证明连续。要覆盖任意目标开集 $V$，取任意 $x\in f^{-1}(V)$，先选 $\epsilon >0$ 使 $(x^2-\epsilon ,x^2+\epsilon )\subseteq V$。再令

当 $|y-x|<\delta$ 时，$|y+x|\le |y-x|+2|x|<2|x|+1$，从而 $|y^2-x^2|=|y-x||y+x|<\epsilon$。因此 $(x-\delta ,x+\delta )\subseteq f^{-1}(V)$，逆像中每点都有开邻域，完成了对所有 $V$ 的证明。

在度量空间之间，邻域定义恰好恢复 $\epsilon$–$\delta$ 条件。给定 $\epsilon$ 球 $B_{\epsilon }(f(x))$，连续性提供某个 $\delta$ 球 $B_{\delta }(x)$ 映入其中；反向则用每个开集在其点附近含开球的性质。

同一底集上的恒等映射清楚显示拓扑的方向。若 ${\tau }_{\mathrm{usual}}\subseteq {\tau }_{\mathrm{disc}}$，那么

连续，因为目标中的每个开集在离散定义域中仍开；反向映射不连续，因为目标离散拓扑中的单点逆像通常不开放。

常值映射总连续：开集的逆像只能是 $X$ 或 $\varnothing$。它通常不是开映射；若目标是 $T_1$ 空间，它却是闭映射，因为每个非空闭集的像都是闭单点。连续、开映射与闭映射由不同的像或逆像条件定义，彼此不能省略检验。

连续双射仍可能丢失逆方向的局部信息。映射

连续且双射，但逆映射在被切开的圆周点处不连续。只有自身与逆映射都连续，两个空间的拓扑才真正相同。

关于序列要区分必要与充分。连续映射一定保持所有收敛序列；若定义域第一可数，保持序列收敛也足以推出连续。

一般空间中，序列可能看不见某些闭包点，因此需要收敛网理路拓扑空间中的收敛Convergence in a topological space · Net convergence网最终进入候选极限的每个邻域时所定义的一般拓扑收敛。。把第一可数条件错误地放在陪域，不能弥补定义域缺少序列检测能力。

恒等映射连续，连续映射的复合仍连续：

这两条事实使拓扑空间和连续映射组成一个范畴，也解释了大量构造为何以泛性质组织。

连续像保持连通性理路连通空间Connected space不能被分成两个不交非空相对开集的空间。。若 $f(X)$ 被两个相对开集分离，它们的逆像便分离 $X$。连续像也保持紧致性理路紧空间Compact space每个开覆盖都能缩减为有限子覆盖的拓扑空间。：目标中的开覆盖拉回后有有限子覆盖，再把所选成员送回即可。两条证明共享逆像机制，但结论分别处理分离与覆盖。

积拓扑与商拓扑给出相反方向的快速检验。映射 $f:Z\to \prod _i{X}_i$ 连续，当且仅当所有坐标 ${\pi }_i\circ f$ 连续；若 $q:X\twoheadrightarrow Y$ 是商映射，则 $g:Y\to Z$ 连续，当且仅当 $g\circ q$ 连续。前者把映入积空间的问题拆成坐标，后者把从商空间出发的问题提升回粘合前的空间。

连续双射在额外条件下可自动升级。若定义域紧而陪域 Hausdorff，它把闭集送成紧集，再送成闭集，因而是闭映射，逆映射连续。紧性与分离性各承担一半论证，任一条件都不能无故删去。