形式陈述

拓扑空间 $X$$X$ 中的序列 $(x_n)$$(x_n)$ 称收敛到 $x$$x$，记作 $x_n\to x$$x_n\to x$，若对每个邻域 $N\in\mathcal N(x)$$N\in \mathcal{N}(x)$，存在 $N_0$$N_0$ 使

$$ n\ge N_0\Longrightarrow x_n\in N. $$$$n\ge N_0⟹x_n\in N.$$

等价地，只需对 $x$$x$ 的任一邻域基检验最终进入。连续映射保持序列收敛：若 $f:X\to Y$$f:X\to Y$ 连续且 $x_n\to x$$x_n\to x$，则 $f(x_n)\to f(x)$$f(x_n)\to f(x)$。在 Hausdorff 空间中序列极限唯一；非 Hausdorff 空间中同一序列可能收敛到多个点。

直觉

拓扑收敛只询问：给定任何被认为“足够靠近 $x$$x$”的邻域，序列从某项起是否一直留在其中。它不需要距离或收敛速度。

例子与边界

在度量空间中该定义等价于 $d(x_n,x)\to0$$d(x_n,x)\to 0$。在不可分拓扑中，每个序列收敛到每个点；在 Sierpiński 空间中也可出现非唯一极限。连续性总蕴含保持序列极限，但反命题只在第一可数空间或更一般序列空间中可靠；任意拓扑空间可能存在“序列连续但不连续”的映射。类似地，$x\in\overline A$$x\in \bar{A}$ 不一定能由 $A$$A$ 中序列收敛到 $x$$x$，一般需要网或滤子。

推论与应用

拓扑收敛把分析中的极限推广到函数空间和非度量空间；理解其序列局限性是进入网、滤子、弱拓扑和乘积拓扑的关键。

参考资料

• James R. Munkres, Topology, 2nd ed., Prentice Hall, 2000，§17, convergence of sequences。
• Stephen Willard, General Topology, Dover reprint, 2004，Chs. 4–5, convergence, nets and filters。