有向集

形式陈述 ​

有向集由非空集合 $A$ 与其上的二元关系公理库关系Relation · Binary relation带源集与目标集的二元关系，其底层关系图是 A×B 的子集。 $⪯$ 组成。关系至少满足自反性与传递性，并且

$$\mathrm{\forall }\alpha ,\beta \in A\mathrm{\exists }\gamma \in A\alpha ⪯\gamma \wedge \beta ⪯\gamma .$$

最后一条称为向上有向性：任意两个阶段都能在 $A$ 内找到共同后继。反复使用它可得，任意有限非空子集 $F\subseteq A$ 都有某个 $\gamma \in A$ 同时满足 $\alpha ⪯\gamma$（$\alpha \in F$）。

这里通常允许 $⪯$ 只是预序而非偏序公理库偏序Partial order · Partially ordered set满足自反、反对称和传递性的关系。：若 $\alpha ⪯\beta$ 且 $\beta ⪯\alpha$，两个索引仍可不同。把互相可达的索引取商即可得到偏序版本，而“最终成立”、网收敛和共同后继性质不变。若采用向下有向约定，则把不等号全部反转；两种约定不能在同一证明中无声混用。

直觉 ​

序列把进度排成一条线，有向集只要求不同进展可以继续合并。一个阶段可能已经满足条件组 $F$，另一个阶段满足条件组 $G$；共同后继代表同时处理 $F\cup G$ 的更晚阶段。因而有向性记录的不是“任意两项可比较”，而是“任意有限批要求最终可兼容”。

对 ${\alpha }_0\in A$，尾部

$$A_{⪰{\alpha }_0}=\{\alpha \in A:{\alpha }_0⪯\alpha \}$$

表示已经越过阶段 ${\alpha }_0$ 的所有索引。性质 $P(\alpha )$ 最终成立，意为存在 ${\alpha }_0$，使所有 $\alpha ⪰{\alpha }_0$ 都满足 $P$。任意两个尾部有共同的更深部分，这使“最终”具有稳定含义。

例子与边界 ​

自然数按通常次序是有向集，$max(m,n)$ 是共同后继。任意集合 $I$ 的有限子集族 ${\mathcal{P}}_{\mathrm{fin}}(I)$ 按包含关系也是有向集，$F\cup G$ 是共同后继；当 $I$ 不可数时，这个索引结构通常不能由一条可数序列完整替代。

在拓扑空间中，固定点 $x$ 的邻域可按反向包含定向：

$$U⪯V⟺V\subseteq U.$$

更小的邻域被视为更晚、信息更精细的阶段。若仍按普通包含排序，逼近方向就会反转；集合相同不表示定向语义相同。

有两个互不相交分支且没有共同后继的预序不是有向集。任何非空全序都向上有向，因为任意两元素中较大者就是共同后继；相比之下，仅有传递性或集合无限都不够。还要区分“整个索引集是有向的”与“偏序中的某个子集是有向子集”：后者是DCPO公理库有向完备偏序Directed-complete partial order · DCPO · Directed complete poset每个非空有向子集都具有上确界的偏序，用于汇聚相容的信息近似。定义中被取上确界的对象。

推论与应用 ​

网公理库网Net · Moore–Smith net · 拓扑网以有向集为索引的点族，用共同后继表达一般拓扑中的逼近。以有向集作为索引，把一般拓扑中的有限邻域要求组织成逼近过程。域论则对偏序中的有向子集取上确界，将相容的有限信息汇成极限。两处共享共同后继机制，但一个索引点族，另一个研究偏序内部的极限，不能把“网收敛”与“有向上确界存在”当成同一定义。

有向集也出现在滤过余极限、有限信息系统和并行逼近中。使用它时应明确三件事：关系方向、是否允许仅为预序，以及“有向”是否要求集合非空。部分文献允许空有向集；那会使“每个有向集都有上确界”自动要求底元，本库采用非空约定，并把底元作为 pointed 条件单独声明。

参考资料

• John L. Kelley, General Topology, Springer, 1955, Chapter 2.
• B. A. Davey and H. A. Priestley, Introduction to Lattices and Order, 2nd ed., Cambridge University Press, 2002, Chapter 1.
• G. Gierz et al., Continuous Lattices and Domains, Cambridge University Press, 2003, Chapter I.