有向集与网

有向索引 ​

有向集是非空集合 $A$ 连同一个自反、传递关系 $⪯$，并满足

$$\mathrm{\forall }\alpha ,\beta \in A\mathrm{\exists }\gamma \in A\alpha ⪯\gamma \wedge \beta ⪯\gamma .$$

最后一个条件说，任意两个阶段都能在集合内找到共同的后继。对有限多个索引反复使用该条件，也能找到一个同时位于它们之后的阶段。这里不要求反对称：若 $\alpha ⪯\beta$ 且 $\beta ⪯\alpha$，两个索引仍可不同，因为关系只负责表达“至少推进到哪里”，不负责辨认阶段是否相同。

若 $X$ 是集合，以 $A$ 为索引、取值于 $X$ 的网就是函数公理库函数Function · Map · Mapping由定义域、陪域和单值图共同组成，并把每个输入送到唯一输出的映射。

$$x:A\to X,\alpha ⟼x_{\alpha }.$$

自然数按通常次序构成有向集，所以序列是网的特例；但网的索引可以分叉，也可以不可数。网本身只是一族带推进方向的点。它是否收敛，还要由 $X$ 上的拓扑、序或其他结构另行规定。

为什么不只用序列 ​

序列把阶段排成一条可数时间线，适合度量空间，却未必能同时追踪一般拓扑中的全部局部条件。网把“已经满足哪些有限条件”直接当成进度：若两个阶段分别照顾一批条件，有向性保证存在更后的阶段同时照顾两批。这样无需先把所有条件排成可数清单。

一个常用索引来自有限子集。给定任意集合 $I$，令 $A$ 为 $I$ 的所有有限子集，按包含关系排序。$F,G$ 的共同后继可取 $F\cup G$。于是 $x_F$ 可以表示“已经处理完 $F$ 中全部坐标”的近似；当 $I$ 不可数时，这个有向集通常不能被一条序列完整替代。

尾部、最终成立与边界 ​

固定 ${\alpha }_0\in A$，集合

$$A_{⪰{\alpha }_0}=\{\alpha \in A:{\alpha }_0⪯\alpha \}$$

称为从 ${\alpha }_0$ 开始的尾部。性质 $P(\alpha )$ 最终成立，是指存在某个 ${\alpha }_0$，使每个 $\alpha ⪰{\alpha }_0$ 都满足 $P$。不同尾部可能交错，但有向性保证任意两个尾部有共同的更深部分，这正是“最终”能够稳定表达的原因。

并非任意关系都能充当有向结构。两个互不相交的分支若没有共同后继，就不能表示可以继续合并的逼近过程。反过来，有向也不等于全序：有限子集按包含关系时，$\{i\}$ 与 $\{j\}$ 可以不可比，却有共同后继 $\{i,j\}$。如果把索引关系反向，原先的“后来”会变成“更早”，尾部及收敛方向也随之改变，不能只保留同一批索引而忽略次序。

与其他结构的关系 ​

在拓扑收敛公理库拓扑空间中的收敛Convergence in a topological space · Net convergence网最终进入极限点的每个邻域时定义的一般拓扑收敛。中，网最终进入极限点的每个邻域；在偏序与域论中，网或有向子集则常表示逐步增加的信息。两处都使用共同后继来合并有限进度，但“收敛到邻域中的点”和“取有向上确界”是不同结构给出的结论。

子网不是任意抽取若干项。它需要一个保持“不断向后”的共尾索引映射，确保原网的每个尾部最终都会被访问；否则只挑选方便的早期项，就可能伪造极限。滤子也能表达同一套尾部信息，并与网在刻画闭包、连续性和紧性时互相转换，但两种表示各自需要精确的转换条件。

参考资料

• John L. Kelley, General Topology, Springer, 1955，Chapter 2，directed sets, nets and subnets。
• Stephen Willard, General Topology, Dover, 2004，Chapter 4，nets and convergence。
• James R. Munkres, Topology, 2nd ed., Prentice Hall, 2000，supplementary discussion of nets。