网

形式陈述 ​

设 $(A,⪯)$ 是有向集公理库有向集Directed set · Directed preorder · 有向预序集以共同后继统一任意有限批进度的非空预序结构。，$X$ 是集合。取值于 $X$ 的网是函数公理库函数Function · Map · Mapping由定义域、陪域和单值图共同组成，并把每个输入送到唯一输出的映射。

$$x:A\to X,\alpha ⟼x_{\alpha }.$$

网的索引不必可数，也不必全序。自然数按通常次序构成有向集，所以序列公理库序列Sequence以自然数为定义域的函数。是网的特例。网本身只是一族带推进方向的点；是否收敛取决于 $X$ 上另行给定的拓扑、序或其他结构。

若 $B$ 是有向集，映射 $\varphi :B\to A$ 使得对每个 ${\alpha }_0\in A$，存在 ${\beta }_0\in B$ 满足

$$\beta ⪰{\beta }_0⟹\varphi (\beta )⪰{\alpha }_0,$$

则称 $\varphi$ 共尾。常用的子网定义还要求 $\varphi$ 保序，或采用更一般的“最终单调”条件；不同教材约定略有差异，但共同要求是子网最终访问原网的每个尾部，不能只任意挑若干项。

直觉 ​

序列只有一条可数时间线；网把“已经满足哪些有限条件”直接作为进度。两个阶段分别照顾不同条件时，有向性保证存在更晚阶段同时照顾两者。这样无需先把全部邻域或坐标排成可数清单。

索引只是脚手架。两个网即使取值集合相同，只要定向不同，何谓“最终”也可能相反。真正携带逼近信息的是尾部系统，而不是索引名称或书写次序。

例子与边界 ​

给定拓扑空间中的点 $x$，令 $A=\mathcal{N}(x)$ 为 $x$ 的邻域族，按反向包含定向。对每个邻域 $U$ 选择 $x_U\in U$，就得到一个以邻域精细化为进度的网。若这些选择来自集合 $E$，便可用来证明 $x\in \bar{E}$。

对任意索引集 $I$，令 $A={\mathcal{P}}_{\mathrm{fin}}(I)$ 按包含排序。若 $X=\{0,1{\}}^I$，可令 $x_F$ 在 $F$ 上取 $1$、其余坐标取 $0$。随着有限集合扩大，每个固定坐标最终稳定为 $1$。当 $I$ 不可数时，这个逼近通常不能被一个序列替代。

“从原网中抽取无限多项”不一定构成子网。若抽取始终停留在某个早期尾部之外，或共尾映射不断回到旧索引，它可能伪造极限。子序列在自然数索引下对应严格递增索引映射，是子网的一个特例；一般子网并不要求索引映射单射。

推论与应用 ​

在拓扑空间中的收敛公理库拓扑空间中的收敛Convergence in a topological space · Net convergence网最终进入极限点的每个邻域时定义的一般拓扑收敛。中，网收敛到 $x$ 当且仅当它最终进入 $x$ 的每个邻域。网可以完整刻画闭包与连续性：$x\in \bar{E}$ 当且仅当存在 $E$ 中的网收敛到 $x$，映射连续当且仅当保持所有收敛网。

滤子与网编码相同的尾部思想：网生成最终集滤子，滤子也可通过选择索引构造网。二者在紧致性、积空间和一般收敛理论中可相互转换，但转换需要精确处理共尾性，不能把一个任意枚举直接称为等价网。

参考资料

• John L. Kelley, General Topology, Springer, 1955, Chapter 2.
• Stephen Willard, General Topology, Dover, 2004, Chapter 4.
• James R. Munkres, Topology, 2nd ed., Prentice Hall, 2000, supplementary discussion of nets.