网

序列把所有逼近要求排在一条可数的时间线上。一般拓扑中，要求可能没有可数的清单：每次可以只检查有限多个坐标，但待检查的全部坐标可能不可数。网允许阶段由“现在已经兼顾了哪些要求”来标记，而不强行压缩成第几项。

有向性保证两项已经提出的要求可以一起推进。它不要求任何两个阶段都能比较，只要求可以找到一个共同的后续阶段。这正是同时满足多个邻域或多个有限约束所需要的结构。

一个序列不够、网却足够的逼近 ​

令 $I$ 是不可数集合，考虑空间 $X=\{0,1{\}}^I$ 的乘积拓扑。一个基本邻域只约束有限多个坐标的值。以 $I$ 的全部有限子集 $F$ 为索引，按包含关系排序，并令

这是一张由有限支撑点组成的网，它收敛到每个坐标都为 $1$ 的点 $\mathbf{1}$。证明只需看一个要求集合 $K\subseteq I$：$K$ 有限时，取 $F_0=K$；以后所有 $F\supseteq K$ 都在要求的坐标上取值为 $1$。

但任何有限支撑点组成的序列 $z_1,z_2,\dots$ 都不能收敛到 $\mathbf{1}$。这些点支撑的可数并仍可数，取一个未出现在并集中的坐标 $i$，所有 $z_n(i)$ 都为零。要求第 $i$ 个坐标等于一的邻域便永远到不了。区别不在“走得够不够快”，而在序列能覆盖的约束范围。

从闭包直接构造网 ​

若 $p\in \bar{A}$，则每个邻域 $U$ 都与 $A$ 相交。取索引对

并按邻域反向包含规定 $(U,a)⪯(V,b)$ 当且仅当 $V\subseteq U$，令 $x_{(U,a)}=a$。任意两个邻域的交仍是邻域，且与 $A$ 相交，所以此预序有向。给定邻域 $W$，从某个 $(W,a_0)$ 往后，所取点全部位于 $W$ 中，故这张网收敛到 $p$。

反过来，若 $A$ 中的一张网收敛到 $p$，每个 $p$ 的邻域都包含该网的某个点，所以 $p\in \bar{A}$。于是一般拓扑中，闭包恰好可以由网的极限刻画；只用序列时，前面的不可数乘积例子会漏掉闭包中的点。

共尾的像还不够 ​

设原序列 $x_n=1/(n+1)$。定义 $\varphi (k)=k$（$k$ 为偶数），$\varphi (k)=0$（$k$ 为奇数）。它的像无界，因此作为自然数子集是共尾的；但是 $x_{\varphi (k)}$ 每隔一项又回到 $1$，并不趋于零。失败原因是 $\varphi$ 不单调，也不满足最终留在每个原尾部的要求。

相对地，$\varphi (k)=\lfloor k/2\rfloor$ 单调且共尾，虽然重复每个索引，仍给出合法子网并保持极限。这样便能看清“抽取后项”和“绝不重复”不是同一条件。

在 Hausdorff 空间中，网的极限唯一。若有不同极限 $p,q$，取不相交的邻域 $U,V$。收敛分别给出进入 $U$ 和 $V$ 的两个阶段，有向性再给出它们的共同后继；该处的网值便要同时属于 $U\cap V$，矛盾。若空间不分离，例如两个点上的不可分拓扑，常值网也可能同时收敛到两个点。

在第一可数空间中，每点有可数邻域基，可把它们依次取有限交，得到一列逐步加强的邻域。因此闭包中的点可以用序列逼近；度量空间中的半径 $1,1/2,1/3,\dots$ 正好提供这样的清单。网的作用是保留这套“最终满足任意局部要求”的机制，而不预设存在可数清单。

紧致性公理库紧空间Compact space每个开覆盖都能缩减为有限子覆盖的拓扑空间。也有网的刻画：空间紧致，当且仅当每张网都有一个收敛子网。一般拓扑中不能无条件用“每个序列都有收敛子序列”替代它。用于无穷求和时，按有限子集包含排序的部分和同样形成网，表达对全部有限部分的共同控制，而不是依赖某个事先选好的枚举顺序。