拓扑空间 | Codeboy's Blog

形式陈述

给定集合 $X$ ，其上的拓扑是幂集中的子族 $\tau\subseteq\mathcal P(X)$ ，满足

\varnothing,X\in\tau,

(U_i)_{i\in I}\subseteq\tau \Longrightarrow \bigcup_{i\in I}U_i\in\tau,

以及

U_1,\ldots,U_n\in\tau \Longrightarrow \bigcap_{k=1}^{n}U_k\in\tau.

这些条件分别规定空集与全集开放、任意并开放、有限交开放。相关的集合运算都在固定环境集合 $X$ 内进行。二元组 $(X,\tau)$ 称为拓扑空间， $\tau$ 的成员称为开集。

开集是这套定义中的原始数据。闭集由补集 $X\setminus F$ 开来定义；集合 $N$ 是点 $x$ 的邻域，则表示 $N$ 含有某个包含 $x$ 的开集。三者可以相互恢复，却处在不同逻辑层级：开、闭是子集的全局属性，邻域还要指定一个点。

若 $\tau_1\subseteq\tau_2$ ，称 $\tau_2$ 比 $\tau_1$ 更细， $\tau_1$ 比 $\tau_2$ 更粗。恒等映射

\operatorname{id}:(X,\tau_2)\longrightarrow(X,\tau_1)

连续，反向未必连续。给定义域换成更细拓扑会使连续映射更容易出现；给陪域换成更细拓扑则增加需要拉回的开集，使连续性更难满足。

直觉

拓扑记录哪些范围可以围住一个点而仍被视为局部。它不为邻近程度标上数值，只保留“能否在不离开某集合的情况下给点留出一小块空间”。这正是连续、收敛、连通与紧致真正共同使用的那部分结构。

任意并公理允许把任意多块局部区域拼成开区域。有限交公理则保证同时施加有限多个局部条件后仍有活动余地；无限多个条件可能把余地逐步压没，所以公理没有要求无限交开放。

拓扑越细，可观察的局部区别越多。相应地，收敛必须通过更多邻域检验，因而更难；拓扑越粗，更多网会收敛，有时甚至同一个网收敛到多个点。细与粗描述的是开集信息量，不能简单翻译成某个距离“变大”或“变小”。

例子与边界

离散拓扑 $\mathcal P(X)$ 是最细拓扑，每个集合都开；平凡拓扑 $\{\varnothing,X\}$ 是最粗拓扑，非空真子集都无法被局部观察。若 $X$ 至少有两个点，前者使收敛网最终恒定，后者则使每个网收敛到每个点。

两点集合 $S=\{0,1\}$ 上的 Sierpiński 拓扑

\tau=\{\varnothing,\{1\},S\}

保留了方向性的可辨别信息：点 $1$ 有一个排除 $0$ 的邻域，点 $0$ 却没有排除 $1$ 的邻域。它满足拓扑公理，但不能由度量诱导，因为度量空间必为 Hausdorff。

在实线通常拓扑中，所有开区间的并给出全部开集。每个 $(-1/n,1/n)$ 都开，而

\bigcap_{n\ge1}(-1/n,1/n)=\{0\}

不开放。这个计算准确展示了有限交与无限交的分界，而不是公理中一个可随意加强的技术细节。

无限集合上的余有限拓扑由空集及补集有限的集合组成。它比离散拓扑粗，并且任意两个非空开集都相交；所有单点集仍闭，所以它是 $T_1$ 空间，却通常不是 Hausdorff。分离性质因此必须逐级检查，不能从“点闭”直接跃迁到“极限唯一”。

同一集合 $X$ 上任意一族拓扑的交仍是拓扑。于是给定 $\mathcal A\subseteq\mathcal P(X)$ ，所有包含 $\mathcal A$ 的拓扑之交，就是由 $\mathcal A$ 生成的最小拓扑。

若一族集合满足局部交细化条件，其任意并已经构成拓扑，它就是拓扑基。更一般的子基无需满足该条件：先取有限交得到基，再取任意并得到拓扑。区分“生成数据”与“最终开集族”能避免把任意覆盖误当成基。

推论与应用

常用的三种新空间构造分别沿不同方向传递拓扑。子空间拓扑把环境开集限制到子集；积拓扑是使各坐标投影连续的最粗拓扑；商拓扑是使给定满射连续的最细拓扑。

这里的“最粗/最细”决定相应映射满足哪条泛性质，并非只用来比较开集数量。

度量空间通过开球给出拓扑。忘掉距离后，同一空间仍保留拓扑连续、连通、紧致和分离性质，却可能失去完备性、长度或曲率。判断一个命题是否属于拓扑，最直接的方法是检查它是否在同胚下保持。

连续映射保持由开集结构表达的关系，而同胚给出开集族之间可逆的完整翻译。因此拓扑学通常先构造同胚或不变量，再判断两个表面形状不同的空间是否具有相同的邻近结构。

参考资料