形式陈述

集合 $X$$X$ 上的拓扑是子集族 $\tau\subseteq\mathcal P(X)$$\tau \subseteq \mathcal{P}(X)$，满足 $\varnothing,X\in\tau$$\varnothing ,X\in \tau$；任意个 $\tau$$\tau$ 中集合的并仍在 $\tau$$\tau$；有限个 $\tau$$\tau$ 中集合的交仍在 $\tau$$\tau$。二元组 $(X,\tau)$$(X,\tau )$ 称拓扑空间。

直觉

拓扑保留“哪些区域可以作为局部邻域”，舍弃具体距离与角度，因此只关注连续变形下不变的结构。

例子与边界

离散拓扑包含 $X$$X$ 的所有子集；平凡拓扑只有 $\varnothing$$\varnothing$ 与 $X$$X$。任意子集族都不一定是拓扑，因为可能不对任意并或有限交封闭。

推论与应用

连续映射、紧致性、连通性、分离公理和同胚都在拓扑空间中统一定义。

参考资料

• James R. Munkres, Topology, 2nd ed., §12–13.
• Stephen Willard, General Topology, §2.