形式陈述

若 $Z\subseteq A\subseteq X$ 且

$$\bar{Z}\subseteq \mathrm{int}A,$$

则包含映射

$$(X\setminus Z,A\setminus Z)\hookrightarrow (X,A)$$

在所有维数上诱导同调同构。奇异同调中的证明使用重心细分，把链切成足够小的部分。

直觉

相对同调只关心 $A$ 与外部的界面；深藏在 $A$ 内部的一块可以安全删除。

例子与边界

切除不是断言 $H_{\ast }(X\setminus Z)\cong H_{\ast }(X)$。闭包位于内部的条件不能任意删除，否则删去区域可能改变空间对的局部连接方式。

推论与应用

它把局部同调计算粘成全局结论，并导出 Mayer–Vietoris 序列和许多流形局部结果。

参考资料

• Allen Hatcher, Algebraic Topology (2002), excision theorem.
• J. Peter May, A Concise Course in Algebraic Topology (1999), excision.