切除定理

在 $H_{\ast }(X,A)$ 中，完全落在 $A$ 里的链已经等于零。若 $Z$ 连同边缘都深藏在 $A$ 内部，直觉上它只占据一块早已被忽略的区域，删去后不应改变相对类。闭包条件提供了一圈缓冲带：靠近 $Z$ 的小单形仍落在 $A$ 内，而真正记录相对信息的单形可以被推到 $X\setminus Z$ 一侧。

困难在于奇异单形可以横跨整个空间。即使 $A$ 与 $B$ 的内部覆盖 $X$，一个映射 $\sigma :{\mathrm{\Delta }}^n\to X$ 的像也未必完整落在任何一边，所以链群层面并没有立刻出现“由 $A$ 中的链加上 $B$ 中的链”的分解。切除证明的任务，就是在不改同调类的前提下把这些大单形系统地切小。

证明使用重心细分算子 $S:C_n(X)\to C_n(X)$。它把标准单形分成更小的单形，并与恒等链映射链同伦：存在棱柱算子 $D$ 使

因此 $c$ 与 $S^{N}c$ 代表同一个同调类。对单个奇异单形，${\mathrm{\Delta }}^n$ 的紧性和开覆盖 $\{{\sigma }^{-1}(\mathrm{int}A),{\sigma }^{-1}(\mathrm{int}B)\}$ 给出一个 Lebesgue 数；细分次数足够大后，每个小单形的像都落在 $A$ 或 $B$ 中。一条链只含有限多个单形，所以可选统一的 $N$。

令 $C_{\ast }^{A,B}(X)=C_{\ast }(A)+C_{\ast }(B)$ 为这类“小链”组成的子复形。反复细分与上面的链同伦说明包含

诱导同调同构。再对 $C_{\ast }(A)$ 取商，有自然链群同构

左边计算 $H_{\ast }(X,A)$，右边计算 $H_{\ast }(B,A\cap B)$，于是得到切除同构。证明中的重心细分负责“变小”，链同伦负责“同调类不变”，商链同构才负责真正的“切掉”。

切除不是断言 $H_{\ast }(X\setminus Z)\cong H_{\ast }(X)$。例如从圆周删去一点会得到可缩的开区间，普通同调当然改变；定理比较的是两个空间对，而且被删区域必须同时位于相对部分内部。

闭包条件也不能只保留 $Z\subseteq A$。在区间对 $([0,1],\{0,1\})$ 中，取 $Z=\{0\}$；它虽是 $A$ 的子集，却不在 $A$ 相对于 $X$ 的内部。原空间对有 $H_1([0,1],\{0,1\})\cong \mathbb{Z}$，而删去后 $((0,1],\{1\})$ 的相对同调为零，因为 $\{1\}$ 是 $(0,1]$ 的形变收缩。删除触及了那条相对区间链的一端，正是缓冲条件要排除的情形。

一个典型正面应用是局部同调。选择点 $x$ 的小邻域 $U$，在适当闭包条件下可从空间对 $(X,X\setminus \{x\})$ 中切掉远离 $x$ 的部分，得到

全空间问题于是只剩点附近的局部模型；对流形，$U$ 可取为欧氏球。

相对同调公理库相对同调Relative homology用商链复形 $C_*(X)/C_*(A)$ 测量空间相对于子空间新增的同调。提供要比较的商链复形，奇异单形公理库奇异单形Singular simplex标准单形到拓扑空间的连续映射。的细分提供小链模型。切除的价值不只是删掉一块空间，而是证明奇异同调可以用适合某个开覆盖的链来计算；这一步随后产生 Mayer–Vietoris 序列公理库Mayer–Vietoris 序列Mayer–Vietoris sequence用两个开子空间及其交的同调计算并集同调的长正合列。的链级分解。

局部同调、流形定向、胞腔附着和商空间计算都反复使用同一策略：先选一对空间，让无关部分落进相对子空间的内部；再切除远处数据，只保留一个标准邻域。切除因此是同调“局部可计算”的精确机制，而不是一句抽象的局部性口号。