形式陈述

设 $(X,\tau)$$(X,\tau )$ 为拓扑空间，$Y\subseteq X$$Y\subseteq X$。$Y$$Y$ 上的子空间拓扑定义为

$$ \tau_Y=\{Y\cap U:U\in\tau\}. $$$${\tau }_Y=\{Y\cap U:U\in \tau \}.$$

因此 $V\subseteq Y$$V\subseteq Y$ 在 $Y$$Y$ 中开，当且仅当存在 $X$$X$ 中开集 $U$$U$ 使 $V=Y\cap U$$V=Y\cap U$；同理，$C\subseteq Y$$C\subseteq Y$ 在 $Y$$Y$ 中闭，当且仅当 $C=Y\cap F$$C=Y\cap F$，其中 $F$$F$ 在 $X$$X$ 中闭。

直觉

子空间只保留母空间中落在 $Y$$Y$ 内的局部邻近关系。观察者被限制在 $Y$$Y$ 内时，看不见 $Y$$Y$ 外的点，因此相对开放与母空间开放可以不同。

例子与边界

$Y=[0,1]\subseteq\mathbb R$$Y=[0,1]\subseteq \mathbb{R}$ 时，$[0,1/2)=Y\cap(-1,1/2)$$[0,1/2)=Y\cap (-1,1/2)$ 在 $Y$$Y$ 中开，却不在 $\mathbb R$$\mathbb{R}$ 中开。子空间拓扑不是简单取 $\tau\cap\mathcal P(Y)$$\tau \cap \mathcal{P}(Y)$；后者会漏掉这种由交集产生的相对开集。

推论与应用

包含映射 $i:Y\hookrightarrow X$$i:Y\hookrightarrow X$ 自动连续。子空间拓扑还是使该包含映射连续的最粗拓扑，并用于定义嵌入、限制映射和流形中的局部坐标片。

参考资料

• James R. Munkres, Topology, 2nd ed., Prentice Hall, 2000，§16。
• Stephen Willard, General Topology, Dover reprint, 2004，Chapter 3。