子空间拓扑

子空间只看仍留在 $Y$ 中的方向。环境开集碰到子集边缘时，落在空间外的那一半已经不存在，所以剩下的半邻域可以在 $Y$ 内开放。

对一个固定的 $V\subseteq Y$，环境中开放一定推出相对开放，因为 $V=Y\cap V$；反过来一般不成立。若 $Y$ 本身在 $X$ 中开，则 $V=Y\cap U$ 是两个环境开集的交，反向也成立。闭集有对应规则：当 $Y$ 在 $X$ 中闭时，相对闭集也是环境闭集。这些条件比只看区间端点更可靠。

包含映射的泛性质把继承规则压缩成一个检验接口：任何通向子空间的映射，只需把它看作通向母空间的映射来检查连续性。这也是嵌入定义把像赋予子空间拓扑的原因。

令 $Y=[0,1]\subseteq \mathbb{R}$。集合

在 $Y$ 中开，却不在 $\mathbb{R}$ 中开。相对开集不是简单的 $\tau \cap \mathcal{P}(Y)$：后者只保留那些本来就在环境中开放的子集，会漏掉边缘处的半邻域。

相对闭性也会出现类似差别。例如 $(0,1/2]$ 在 $Y=(0,1)$ 中等于

所以在 $Y$ 中闭，而在实线中不闭。相对开与相对闭都由与母空间相交得到，只是使用的母空间集合类型不同。

若 $A\subseteq Y\subseteq X$，则闭包满足

右侧是 $Y$ 中包含 $A$ 的闭集，所以 ${\bar{A}}^Y\subseteq Y\cap {\bar{A}}^X$。反过来，将相对闭集 ${\bar{A}}^Y$ 写成 $Y\cap F$，其中 $F$ 在 $X$ 中闭。由于 $A\subseteq F$，有 ${\bar{A}}^X\subseteq F$，与 $Y$ 相交便得到反向包含。

内部却没有一般公式 ${\mathrm{int}}_{Y}A=Y\cap {\mathrm{int}}_{X}A$：取 $A=Y=[0,1]$ 时，左边是 $Y$，右边只有 $(0,1)$。

子空间构造具有传递性。若 $A\subseteq Y\subseteq X$，先给 $Y$ 子空间拓扑、再给 $A$ 子空间拓扑，得到的开集仍恰是 $A\cap U$（$U$ 在 $X$ 中开）。因此分阶段限制不会产生第三套拓扑。

子空间不会自动继承所有整体性质。任意子空间继承 Hausdorff 性和可度量性，紧空间的闭子空间紧；但紧空间的任意子空间未必紧，连通空间的子空间也可能断开，例如 $[0,1]$ 的子空间 $[0,1/3]\cup [2/3,1]$。

若 $f:X\to Z$ 连续理路拓扑连续性Topological continuity · Continuous map目标开集的逆像始终开放，从而在不使用距离时表达映射不破坏局部邻近。，则限制 $f{|}_Y:Y\to Z$ 连续，因为它是 $f$ 与包含映射的复合。若 $f:X\to Z$ 的像落在子空间 $W\subseteq Z$，把陪域缩成 $W$ 后仍连续，正是上述泛性质的另一种读法。

映射 $e:Y\to X$ 称为拓扑嵌入，当它是 $Y$ 到像 $e(Y)$（取子空间拓扑）的同胚。单射连续只给出正向局部控制，未必是嵌入；还需保证定义域拓扑与像继承的拓扑完全吻合。

许多性质的“子集版本”默认使用子空间拓扑。紧子集、连通子集、局部道路连通的开片以及空间对 $(X,A)$ 都依赖这一约定；若另行赋予 $A$ 一套拓扑，相关结论便可能改变。

子空间、积和商构造各由不同映射方向决定：包含映射把子空间送入母空间，投影把积空间送到因子，商投影把原空间送到商空间。记住箭头方向，比背诵三套开集公式更不易混淆。

闭子群定理理路闭子群定理Closed subgroup theorem · Cartan closed subgroup theoremLie 群的拓扑闭子群自动是嵌入 Lie 子群；解释闭性在极限与局部坐标中的作用，并用环面稠密子群说明边界。要求 Lie 子群的拓扑恰是继承的子空间拓扑。环面内的稠密绕线虽然有光滑的实数参数，参数逆却对子空间拓扑不连续；这个例子把“沉浸参数化”和“嵌入子空间”的差别具体化。