光滑嵌入

浸入只检查显微镜下的切向信息，嵌入还要求缩回全景时，像中的邻近关系与原流形完全一致。单射阻止两个点真正重合，子空间同胚条件则阻止相距越来越远的参数点在陪域里反复贴近，以至于像上的收敛无法拉回定义域。

所以嵌入不是“公式里没有自交”这么简单。它把局部光滑结构和全局拓扑同时保存下来：定义域中的开集恰与像的相对开集对应，微分又把切空间无退化地放进环境切空间。环境仍可能把子流形弯曲、打结；嵌入不要求它能通过刚体运动或线性变换拉直，只要求每点附近可拉直。

当流形带边界时，还需区分一般嵌入与整齐嵌入。后者通常要求 $F^{-1}(\partial N)=\partial M$ 并让子流形在边界处横截环境边界，才能拥有兼容的半空间坐标和管状邻域。

标准圆周包含

是嵌入。速度 $(-\sin \theta ,\cos \theta )$ 从不为零，且 $S^1$ 紧、${\mathbb{R}}^2$ Hausdorff，所以连续单射自动给出到像的同胚。圆周不能仅靠旋转和平移拉直；这里需要一般光滑坐标变换。例如在 $(1,0)$ 附近取 $(u,v)=(y,x-\sqrt{1-y^2})$，圆周便成为 $v=0$。此变换的 Jacobian 行列式为 $-1$，故它确实提供局部坐标。

与此相反，八字曲线的正则参数化在交点处有两个原像，失败在单射。更隐蔽的失败来自无理绕线：取无理数 $\alpha$，

若 $F(t)=F(s)$，则 $t-s=2\pi k$ 且 $\alpha (t-s)=2\pi \ell$；无理性迫使 $k=\ell =0$，故 $F$ 单射，微分也从不为零。然而其像在 $T^2$ 稠密，存在 $t_j\to \mathrm{\infty }$ 而 $F(t_j)\to F(0)$；像中的收敛不能拉回实线中的收敛。因此它是单射浸入，却不是嵌入。

拓扑嵌入还不必是光滑嵌入。例如 $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$、$F(t)=t^3$ 是到其像的同胚，而且映射本身光滑；但 $d{F}_0=0$，所以不是浸入，也不是光滑嵌入。

“像是闭集”也不是定义的同义词。非闭的开区间自然包含 $(0,1)\hookrightarrow \mathbb{R}$ 仍是嵌入；闭像常由适当性保证，但局部嵌入子流形可以不是闭子集。

嵌入允许把抽象 $M$ 与具体子集 $F(M)$ 识别，继而谈环境中的切空间、法向方向、交点和邻域。沿 $F(M)$ 有精确短正合列

最后的商丛是内在定义的法丛；选环境 Riemann 度量后可把它实现为正交补。管状邻域定理再把零截面附近的法向量变成子流形附近的环境点。

对 $m>0$，Whitney 强嵌入定理保证每个第二可数光滑 $m$ 维流形都能嵌入 ${\mathbb{R}}^{2m}$，并不要求流形紧致；$m=0$ 时第二可数流形是可数离散集，可另行嵌入 $\mathbb{R}$。这说明抽象流形可以外在实现，但最低所需维数、嵌入的结类型与是否能进一步降维是额外问题，不能从定义中的局部正规形直接读出。

在同痕理论中，一族嵌入要求整个变形过程都保持上述两层控制；普通同伦允许中途折叠或自交，因而远弱于嵌入之间的同痕。

Seifert 曲面理路Seifert 曲面Seifert surface把有向结构造成可定向曲面的边界，逐步执行 Seifert 平滑与带粘接，并通过圆盘数、带数算亏格。要求一个有向结成为紧致可定向嵌入曲面的边界。算法先对结图有向平滑，再以圆盘和半扭转带恢复原交叉；若只给一个可能自交的曲面映射，便不能直接使用后续的推离环路和环绕数构造。