光滑映射的横截性

横截表示映射到达 $Z$ 时没有只沿着 $Z$ 擦过。$T_{F(p)}Z$ 已提供沿目标子流形的方向，$d{F}_p(T_{p}M)$ 必须补齐所有缺失的法向方向；因此它不要求 $d{F}_p$ 覆盖整个 $T_{F(p)}N$，只要求覆盖模掉 $TZ$ 后的法空间。

这使横截性同时容纳“两个子流形相交”和“方程组取正则值”。若 $A\subseteq N$ 的包含映射横截 $Z$，条件就是 $T_{x}A+T_{x}Z=T_{x}N$。交点附近可以把两者同时坐标化为线性坐标子空间，交集的实际维数等于预期维数 $\dim A+\dim Z-\dim N$。

横截是稳定的一阶条件：在紧致控制下，小的 $C^1$ 扰动通常仍横截。相切则需要某个行列式恰好为零，轻微移动常会把它打破。这里的“通常”须由参数横截或函数空间横截定理精确化，不能当作无条件概率口号。

令 $Z=\{(x,0):x\in \mathbb{R}\}\subset {\mathbb{R}}^2$。曲线

只在 $t=0$ 落到 $Z$，而 $d{F}_0(1)=(1,0)\in T_{(0,0)}Z$，所以

它与 $x$ 轴相切而不横截。改为 $G(t)=(t,t)$ 后，$d{G}_0(1)=(1,1)$ 与 $(1,0)$ 张成 ${\mathbb{R}}^2$，故交点横截，预期维数为 $1+1-2=0$，实际也只有孤立点。

若 $m+q<n$，非空横截交集不可能存在。例如两条曲线在 ${\mathbb{R}}^3$ 中若真的相遇，它们两条一维切线至多张成二维，不能横截；一般位置下它们应当错开，而不是产生“负一维交集”。

横截性只在原像点检查。一个映射远离 $Z$ 的地方可以有任意严重的秩退化而不影响 $F⋔Z$。反过来，集合交点看起来孤立也不保证横截：抛物线与 $x$ 轴的切点就是维数为零但非横截的交集，微小扰动后交点数可从零变成二。

对带边界流形，若希望 $F^{-1}(Z)$ 的边界恰为 $F^{-1}(Z)\cap \partial M$，通常要同时要求 $F⋔Z$ 与 $F{|}_{\partial M}⋔Z$。只核对内部切空间会漏掉边界上的切触。

两个嵌入子流形 $A,B\subseteq N$ 横截时，$A\cap B$ 自动是维数 $\dim A+\dim B-n$ 的子流形。若再有定向且零维交集紧致，可给各交点赋局部符号并形成交数；在交集始终保持于紧集、且没有边界穿越的同痕中，交点只能成对创造或消灭相反符号的点。没有这种适当性控制时，单个交点可以逃向无穷远，代数计数不再自动不变。

对截面 $s:M\to E$ 与零截面 $0_M\subset E$，$s⋔0_M$ 意味着零点具有预期余维。向量场的非退化零点、Morse 函数的非退化临界点，以及特征类的几何代表都能用这种“截面横截零截面”统一描述。

横截逆像还能稳定地产生纽结、纤维与切割子流形。若要证明任意给定映射可轻微扰动为横截映射，需要参数族或 Thom 横截定理；当前定义和逆像结论本身不提供扰动，也不保证保持边界值、对称性或适当性。