光滑映射的横截性 | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $F:M^m\to N^n$ 光滑， $Z^q\subseteq N$ 是由光滑嵌入给出的嵌入子流形。若对每个满足 $F(p)\in Z$ 的点 $p$ 都有

dF_p(T_pM)+T_{F(p)}Z=T_{F(p)}N,

则称 $F$ 横截于 $Z$ ，记作 $F\pitchfork Z$ 。若 $F^{-1}(Z)=\varnothing$ ，条件真空成立。等价地，把微分复合到法商空间后，

T_pM\xrightarrow{dF_p}T_{F(p)}N \longrightarrow T_{F(p)}N/T_{F(p)}Z

必须满射。由此若交集非空，必有 $m\ge n-q=\operatorname{codim}Z$ 。

横截逆像定理断言：若 $F\pitchfork Z$ ，则非空的 $F^{-1}(Z)$ 是 $M$ 中余维 $n-q$ 、维数 $m+q-n$ 的嵌入子流形，且

T_pF^{-1}(Z)= (dF_p)^{-1}(T_{F(p)}Z).

若原像为空，保留真空的横截结论，不为它指定负维数。对每个 $p\in F^{-1}(Z)$ ，在 $F(p)$ 的坐标邻域 $V\subseteq N$ 上选局部定义函数 $G:V\to\mathbb R^{n-q}$ ，使 $Z\cap V=G^{-1}(0)$ 。把 $F$ 限制到 $F^{-1}(V)$ 后，横截性恰说明 $G\circ F$ 在零原像处满秩，再应用正则水平集定理。这些定义函数只需逐坐标存在，并不要求整个 $Z$ 是某个全局映射的零集。若 $Z=\{y\}$ ，其切空间为零，上式退化为 $dF_p$ 满射，正好恢复正则值。

直觉

横截表示映射到达 $Z$ 时没有只沿着 $Z$ 擦过。 $T_{F(p)}Z$ 已提供沿目标子流形的方向， $dF_p(T_pM)$ 必须补齐所有缺失的法向方向；因此它不要求 $dF_p$ 覆盖整个切空间 $T_{F(p)}N$ ，只要求覆盖模掉 $T Z$ 后的法空间。

这使横截性同时容纳“两个子流形相交”和“方程组取正则值”。若 $A\subseteq N$ 的包含映射横截 $Z$ ，条件就是 $T_xA+T_xZ=T_xN$ 。交点附近可以把两者同时坐标化为线性坐标子空间，交集的实际维数等于预期维数 $\dim A+\dim Z-\dim N$ 。

横截是稳定的一阶条件：在紧致控制下，小的 $C^1$ 扰动通常仍横截。相切则需要某个行列式恰好为零，轻微移动常会把它打破。这里的“通常”须由参数横截或函数空间横截定理精确化，不能当作无条件概率口号。

例子与边界

令 $Z=\{(x,0):x\in\mathbb R\}\subset\mathbb R^2$ 。曲线

F(t)=(t,t^2)

只在 $t=0$ 落到 $Z$ ，而 $dF_0(1)=(1,0)\in T_{(0,0)}Z$ ，所以

dF_0(T_0\mathbb R)+T_{(0,0)}Z=T_{(0,0)}Z\ne\mathbb R^2;

它与 $x$ 轴相切而不横截。改为 $G(t)=(t,t)$ 后， $dG_0(1)=(1,1)$ 与 $(1,0)$ 张成 $\mathbb R^2$ ，故交点横截，预期维数为 $1+1-2=0$ ，实际也只有孤立点。

若 $m+q<n$ ，非空横截交集不可能存在。例如两条曲线在 $\mathbb R^3$ 中若真的相遇，它们两条一维切线至多张成二维，不能横截；一般位置下它们应当错开，而不是产生“负一维交集”。

横截性只在原像点检查。一个映射远离 $Z$ 的地方可以有任意严重的秩退化而不影响 $F\pitchfork Z$ 。反过来，集合交点看起来孤立也不保证横截：抛物线与 $x$ 轴的切点就是维数为零但非横截的交集，微小扰动后交点数可从零变成二。

对带边界流形，若希望 $F^{-1}(Z)$ 的边界恰为 $F^{-1}(Z)\cap\partial M$ ，通常要同时要求 $F\pitchfork Z$ 与 $F|_{\partial M}\pitchfork Z$ 。只核对内部切空间会漏掉边界上的切触。

推论与应用

两个嵌入子流形 $A,B\subseteq N$ 横截时， $A\cap B$ 自动是维数 $\dim A+\dim B-n$ 的子流形。若再有定向且零维交集紧致，可给各交点赋局部符号并形成交数；在交集始终保持于紧集、且没有边界穿越的同痕中，交点只能成对创造或消灭相反符号的点。没有这种适当性控制时，单个交点可以逃向无穷远，代数计数不再自动不变。

对截面 $s:M\to E$ 与零截面 $0_M\subset E$ ， $s\pitchfork0_M$ 意味着零点具有预期余维。向量场的非退化零点、Morse 函数的非退化临界点，以及特征类的几何代表都能用这种“截面横截零截面”统一描述。

横截逆像还能稳定地产生纽结、纤维与切割子流形。若要证明任意给定映射可轻微扰动为横截映射，需要参数族或 Thom 横截定理；当前定义和逆像结论本身不提供扰动，也不保证保持边界值、对称性或适当性。

参考资料

Victor Guillemin and Alan Pollack, Differential Topology, Prentice-Hall, 1974, Ch. 2, transversality and intersection.
Morris W. Hirsch, Differential Topology, Springer, 1976, Ch. 3, transversality theorems.
John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, 2nd ed., Springer, 2013, Ch. 6, transverse maps and the preimage theorem.

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