正则水平集定理

方程 $F(x)=y$ 看似有 $n$ 个标量约束。只有当这 $n$ 个约束的一阶变化彼此独立时，才能真正各削掉一个维度；正则值条件正是要求每个解点都如此。换坐标后，非线性方程组被拉直为“前 $n$ 个坐标等于常数”，剩下的 $m-n$ 个坐标沿解集自由移动。

切空间公式也很自然：曲线 $\gamma (t)$ 若始终留在水平集，便有 $F(\gamma (t))=y$，求导得到 $d{F}_p\dot{\gamma }(0)=0$；反方向由局部坐标中任意核向量都能积分为水平集内直线得到。定理的内容不只是维数计数，还证明集合确实有相容的光滑结构。

正则性是充分条件，不是每个光滑水平集的必要条件。某些临界水平集碰巧仍是子流形；定理拒绝为它们提供统一保证，因为单靠一阶信息已经无法判断尖点、交叉还是良性退化。

令

在 $F^{-1}(1)$ 上，微分 $(2x,2y,2z)$ 不可能为零，所以 $1$ 是正则值，定理给出二维嵌入子流形 $S^2$。在点 $p=(x,y,z)\in S^2$，

因为 $d{F}_p(v)=2p\cdot v$。这既复算了维数 $3-1=2$，也给出熟悉的正交切平面。

值 $0$ 不是正则值，因为原点处微分为零；但其原像 $\{0\}$ 仍是零维子流形。这说明条件并非必要。换成 $G(x,y)=y^2-x^3$，零水平集在原点形成半立方尖点，删去原点后有光滑参数化，原点却没有一维流形邻域；同样的秩失败可以对应良性或奇异结果，故不能删去假设后保留统一结论。

带边界版本要更谨慎。对上半平面 $M=\{y\ge 0\}$ 取 $F(x,y)=y$，$0$ 对 $F$ 的微分意义正则，但 $F{|}_{\partial M}$ 恒定。水平集等于整条环境边界，它作为一维流形自身没有边界，而 $F^{-1}(0)\cap \partial M$ 却是全体；公式 $\partial L=L\cap \partial M$ 因而失效。若要该边界公式，须同时要求 $0$ 是 $F{|}_{\partial M}$ 的正则值。

当 $N={\mathbb{R}}^n$ 时，定理把满秩约束 $F_1=\cdots =F_n=c$ 变成可行流形。约束优化中，允许速度是 $\ker d{F}_p$；其正交补由约束梯度张成，于是目标函数在可行集上的临界性可写成 Lagrange 乘子方程。秩不足时，这一梯度表示可能失去唯一性甚至完全失效。

把目标单点推广为嵌入子流形 $Z\subseteq N$，并把“微分满射”改为 $d{F}_p(T_{p}M)+T_{F(p)}Z=T_{F(p)}N$，就得到横截逆像定理。正则水平集定理是横截性理论最清楚的模型：单点切空间为零，横截条件恰退化为 $d{F}_p$ 满射。

若 $F$ 在水平集附近还是适当的，并且一段目标路径没有遇到临界值，沿适当提升向量场积分可比较相邻纤维；Morse 理论则研究穿过临界值时子水平集如何改变。定理本身只给单个正则纤维，不应把这些全局稳定结论无条件附加上去。