常秩定理 | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $F:M^m\to N^n$ 是光滑映射。若存在 $p\in M$ 的邻域 $U$ ，使

\operatorname{rank}(dF_q)=r \qquad\text{对所有 }q\in U,

则存在 $p$ 附近的光滑坐标 $(x^1,\ldots,x^m)$ 与 $F(p)$ 附近的光滑坐标 $(y^1,\ldots,y^n)$ ，在把两点坐标都平移到原点后满足

(y\circ F\circ x^{-1})(u^1,\ldots,u^m) =(u^1,\ldots,u^r,0,\ldots,0).

这里的秩是微分像的维数。假设控制整个邻域中的秩，结论则在足够小的邻域内把映射化为同一个标准形。

证明可在 Euclidean 坐标中核验。重排坐标后， $DF(p)$ 的左上 $r\times r$ 子式可逆。定义

G(x)=\bigl(F^1(x),\ldots,F^r(x), x^{r+1},\ldots,x^m\bigr).

$DG(p)$ 可逆，故由逆函数定理， $G$ 给定义域一套新坐标。在这些坐标中，

F(u)=\bigl(u^1,\ldots,u^r, h^{r+1}(u),\ldots,h^n(u)\bigr).

把新坐标域再缩为含原点的开长方体。Jacobian 的前 $r$ 行已含单位块；秩处处等于 $r$ 迫使每个 $h^\alpha$ 对 $u^{r+1},\ldots,u^m$ 的偏导为零。在这个长方体中，固定前 $r$ 个坐标的切片连通，沿后面的坐标逐段移动可知 $h^\alpha$ 只依赖前 $r$ 个变量。最后在陪域作坐标变换

v^\alpha\longmapsto v^\alpha-h^\alpha(v^1,\ldots,v^r) \quad(\alpha>r),

便得到标准形。

直觉

常秩表示映射在整个小邻域中始终传递同样数量的独立方向，既没有突然多出方向，也没有突然压扁新的方向。先用可逆 minor 把这 $r$ 个有效方向变成坐标，再由秩约束证明其余输出不含额外独立变化，非线性映射便被局部拉直成“投影后嵌入”。

坐标变换会改变公式，却不会改变微分的秩。标准形把这种坐标不变量转成最简单的可计算表达。

例子与边界

投影

\pi:\mathbb R^m\to\mathbb R^r,\qquad \pi(x^1,\ldots,x^m)=(x^1,\ldots,x^r)

已经处于标准形。若 $r=m\le n$ ，映射局部像坐标嵌入，给出浸入的局部标准形；若 $r=n\le m$ ，映射局部像投影，给出淹没的局部标准形。 $r=m=n$ 时恢复逆函数定理。

秩发生变化时，映射可以呈现临界行为。例如函数

f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2

在 $0$ 处秩为 $0$ ，但任意去心邻域内秩为 $1$ ，不可能在 $0$ 附近通过坐标变成常值映射。秩恒定条件正是排除这种分支或临界行为。

局部标准形可以在不同位置重复出现。圆周映射 $z\mapsto z^2$ 在每点都是局部微分同胚，却把 $z$ 与 $-z$ 映到同一点；因此局部坐标拉直与全局单射是两个不同性质。

推论与应用

当 $F$ 在水平集附近为秩 $r$ 的常秩映射时，非空纤维局部由

u^1=\cdots=u^r=\text{常数}

描述，因而具有维数 $m-r$ 的光滑子流形结构。隐函数定理、浸入与淹没的局部标准形都可从此统一理解。

常秩定理依赖光滑流形坐标与逆函数定理，内容中心是映射的局部正规形。

参考资料

John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, 2nd ed., Springer, 2013, Ch. 4, rank theorem and submersions.
Victor Guillemin and Alan Pollack, Differential Topology, Prentice-Hall, 1974, Ch. 1, local forms of smooth maps.

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