常秩定理

形式陈述 ​

设 $F:M^m\to N^n$ 是光滑映射。若存在 $p\in M$ 的邻域 $U$，使

$$\mathrm{rank}(d{F}_q)=r\text{对所有 }q\in U,$$

则存在 $p$ 附近的光滑坐标 $(x^1,\dots ,x^m)$ 与 $F(p)$ 附近的光滑坐标 $(y^1,\dots ,y^n)$，在把两点坐标都平移到原点后满足

$$(y\circ F\circ x^{-1})(u^1,\dots ,u^m)=(u^1,\dots ,u^r,0,\dots ,0).$$

结论是局部的，且“秩在邻域恒定”比“只在 $p$ 处秩为 $r$”更强。

证明可在 Euclidean 坐标中核验。重排坐标后，$DF(p)$ 的左上 $r\times r$ 子式可逆。定义

$$G(x)=(F^1(x),\dots ,F^r(x),x^{r+1},\dots ,x^m).$$

$DG(p)$ 可逆，故由逆函数定理公理库逆函数定理Inverse function theorem导数可逆的光滑映射在该点邻域内存在光滑局部逆。，$G$ 给定义域一套新坐标。在这些坐标中，

$$F(u)=(u^1,\dots ,u^r,h^{r+1}(u),\dots ,h^n(u)).$$

Jacobian 的前 $r$ 行已含单位块；秩处处等于 $r$ 迫使每个 $h^{\alpha }$ 对 $u^{r+1},\dots ,u^m$ 的偏导为零，所以 $h^{\alpha }$ 只依赖前 $r$ 个变量。最后在陪域作坐标变换

$$v^{\alpha }⟼v^{\alpha }-h^{\alpha }(v^1,\dots ,v^r)(\alpha >r),$$

便得到标准形。

直觉 ​

常秩表示映射在整个小邻域中始终传递同样数量的独立方向，既没有突然多出方向，也没有突然压扁新的方向。先用可逆 minor 把这 $r$ 个有效方向变成坐标，再由秩约束证明其余输出不含额外独立变化，非线性映射便被局部拉直成“投影后嵌入”。

坐标变换会改变公式，却不会改变微分公理库切空间Tangent space在一点由曲线速度或函数导子等价定义的局部线性空间。的秩。标准形把这种坐标不变量转成最简单的可计算表达。

例子与边界 ​

投影

$$\pi :{\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^r,\pi (x^1,\dots ,x^m)=(x^1,\dots ,x^r)$$

已经处于标准形。若 $r=m\le n$，映射局部像坐标嵌入，给出浸入的局部标准形；若 $r=n\le m$，映射局部像投影，给出淹没的局部标准形。$r=m=n$ 时恢复逆函数定理。

只在一点知道秩不足够。函数

$$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=x^2$$

在 $0$ 处秩为 $0$，但任意去心邻域内秩为 $1$，不可能在 $0$ 附近通过坐标变成常值映射。秩恒定条件正是排除这种分支或临界行为。

标准形只在局部成立。圆周覆盖映射在每点都是局部微分同胚，却不是全局单射；浸入也可能自交。定理不把局部坐标结论升级为全局嵌入、纤维平凡化或全局乘积结构。

推论与应用 ​

当 $F$ 在水平集附近为秩 $r$ 的常秩映射时，非空纤维局部由

$$u^1=\cdots =u^r=\text{常数}$$

描述，因而具有维数 $m-r$ 的光滑子流形结构。隐函数定理公理库隐函数定理Implicit function theorem当相关偏导块可逆时，方程组局部可把部分变量表示为其余变量的函数。、浸入与淹没的局部标准形都可从此统一理解。

常秩定理依赖光滑流形公理库光滑流形Smooth manifold坐标图之间转移映射光滑的拓扑流形。坐标与逆函数定理，内容中心是映射的局部正规形。光滑映射微分已经由切空间页面定义，不应为本定理重复建立另一套“微分”对象。

参考资料

• John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, 2nd ed., Springer, 2013, Ch. 4, rank theorem and submersions.
• Victor Guillemin and Alan Pollack, Differential Topology, Prentice-Hall, 1974, Ch. 1, local forms of smooth maps.