光滑浸入

浸入要求任何非零切向速度经过 $F$ 后都不被压成零。站在定义域某一点附近观察，$m$ 个独立方向仍以 $m$ 个独立方向出现在陪域里，因此可以换坐标把这一小片摊成 ${\mathbb{R}}^n$ 中的坐标平面。它保留的是局部微分维数，而不是全局位置标签。

这正是浸入与光滑淹没理路光滑淹没Smooth submersion · Submersion微分在每一点都满射、因而局部等价于遗忘若干坐标的光滑映射。的镜像式差别：浸入要求微分单射，保护输入方向；淹没要求微分满射，保证所有输出方向都能由输入产生。当 $m=n$ 时，两个条件等价；满足它们的映射恰是局部微分同胚，所以“对比”并不表示两个类别永不相交。

局部可拉直也不意味着像集在交点附近是一张单独的子流形。若两个相距很远的参数片落在同一点，它们各自都有良好切线，却可能以不同切向穿过；浸入的定义不会替参数点做全局去重。

考虑周期参数映射

其中 $t$ 按 $2\pi$ 取模。其速度为

若第二分量为零，则 $t=\pi /2$ 或 $3\pi /2$，此时第一分量分别为 $-2$，并不为零；故速度从不消失，$F$ 是浸入。可是 $F(0)=F(\pi )=(0,0)$，两个参数点在原点自交，因此它既不单射，也不是把圆周实现为其像的光滑嵌入。这一可复算例子把“局部保维”与“全局无自交”明确分开。

正则平面曲线就是一维浸入；标准圆周 $t\mapsto (\cos t,\sin t)$ 既是浸入又是嵌入。相反，尖点参数化 $t\mapsto (t^2,t^3)$ 在 $t=0$ 的导数为 $(0,0)$，即使其像在集合意义上仍是一条曲线，也不是浸入。

浸入还可能全局单射却不是嵌入。取无理数 $\alpha$，映射

是单射浸入，但像在二维环面中稠密；参数趋向无穷时可以回到像中任一点附近，像的子空间拓扑无法恢复实线拓扑。因此“单射浸入”缺少的正是全局拓扑控制。

浸入局部像坐标子空间，使 $dF(TM)$ 沿定义域形成 $F^{\ast }TN$ 的秩 $m$ 子丛；若进一步拥有合适的法向补空间，就能讨论法丛与局部管状模型。曲线和曲面的参数表示、Lie 群轨道、覆盖映射的局部模型都频繁产生浸入。

若 $M$ 紧致且 $N$ Hausdorff，那么单射浸入自动是嵌入：紧空间到 Hausdorff 空间的连续单射是到其像的同胚。更一般地，适当的单射浸入也是嵌入。这里真正补上的不是新的秩条件，而是阻止参数序列在像中发生失控回返的全局性质。

浸入还能把抽象流形的张量拉回定义域，例如环境度量经 $F$ 拉回后因 $dF$ 单射而正定。不过拉回度量只描述每一张局部片的内蕴长度，不能消除自交，也不能据此把浸入误判为嵌入。

低维计算可从正则曲线与弧长参数理路正则曲线与弧长参数Regular parametrized curve · Arc-length parametrization · 单位速参数化从非零速度定义正则曲线，证明弧长公式与重参数不变性，并构造单位速参数。及正则参数曲面理路正则参数曲面与局部曲面片Regular parametrized surface · Immersed surface patch · 曲面参数化从两个独立偏导构造切平面与法向，证明满秩参数局部可化为图形，并分清自交、坐标失效和曲面奇点。进入。前者证明弧长不变性与单位速构造，后者用非零二阶子式和逆函数定理把参数小片化为图形；这些计算保留本页的区分：局部正则不排除全局自交，也不保证像整体是一张嵌入曲面。