光滑浸入 | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $M^m,N^n$ 是无边界光滑流形， $F:M\to N$ 光滑。若每个 $p\in M$ 处的微分

dF_p:T_pM\longrightarrow T_{F(p)}N

都是单射，就称 $F$ 为光滑浸入。这里的线性空间是切空间，因此定义立即迫使 $m\le n$ ；当 $m>n$ 时不存在这样的浸入。单射条件等价于 $\operatorname{rank}dF_p=m$ ，但它只约束一阶局部行为，不附带全局单射、闭像或逆映射连续性。

由常秩定理，对每个 $p$ 都能在 $p$ 与 $F(p)$ 附近选择坐标，使

y\circ F\circ x^{-1}(u^1,\ldots,u^m) =(u^1,\ldots,u^m,0,\ldots,0).

所以浸入在足够小的定义域片上确实是嵌入；自交只能来自不同局部片被送到同一处。反过来，若映射在每一点附近都能写成这个标准形，其微分显然单射，故局部标准形也刻画浸入。

本条默认定义域和陪域无边界。对带边界流形，逐点微分单射仍有意义，但若希望得到尊重半空间坐标、边界层次或“整齐嵌入”的正规形，还必须另列边界相容条件，不能直接照搬无边界结论。

直觉

浸入要求任何非零切向速度经过 $F$ 后都不被压成零。站在定义域某一点附近观察， $m$ 个独立方向仍以 $m$ 个独立方向出现在陪域里，因此可以换坐标把这一小片摊成 $\mathbb R^n$ 中的坐标平面。它保留的是局部微分维数，而不是全局位置标签。

这正是浸入与光滑淹没的镜像式差别：浸入要求微分单射，保护输入方向；淹没要求微分满射，保证所有输出方向都能由输入产生。两者在 $m=n$ 时同时成立，恰是局部微分同胚，所以“对比”并不表示两个类别永不相交。

局部可拉直也不意味着像集在交点附近是一张单独的子流形。若两个相距很远的参数片落在同一点，它们各自都有良好切线，却可能以不同切向穿过；浸入的定义不会替参数点做全局去重。

例子与边界

考虑周期参数映射

F:S^1\longrightarrow\mathbb R^2,\qquad F(t)=(\sin 2t,\sin t),

其中 $t$ 按 $2\pi$ 取模。其速度为

F'(t)=(2\cos 2t,\cos t).

若第二分量为零，则 $t=\pi/2$ 或 $3\pi/2$ ，此时第一分量分别为 $-2$ ，并不为零；故速度从不消失， $F$ 是浸入。可是 $F(0)=F(\pi)=(0,0)$ ，两个参数点在原点自交，因此它既不单射，也不是把圆周实现为其像的光滑嵌入。这一可复算例子把“局部保维”与“全局无自交”明确分开。

正则平面曲线就是一维浸入；标准圆周 $t\mapsto(\cos t,\sin t)$ 既是浸入又是嵌入。相反，尖点参数化 $t\mapsto(t^2,t^3)$ 在 $t=0$ 的导数为 $(0,0)$ ，即使其像在集合意义上仍是一条曲线，也不是浸入。

浸入还可能全局单射却不是嵌入。取无理数 $\alpha$ ，映射

t\longmapsto (e^{it},e^{i\alpha t})\in T^2

是单射浸入，但像在二维环面中稠密；参数趋向无穷时可以回到像中任一点附近，像的子空间拓扑无法恢复实线拓扑。因此“单射浸入”缺少的正是全局拓扑控制。

推论与应用

浸入局部像坐标子空间，使 $dF(TM)$ 沿定义域形成 $F^*TN$ 的秩 $m$ 子丛；若进一步拥有合适的法向补空间，就能讨论法丛与局部管状模型。曲线和曲面的参数表示、Lie 群轨道、覆盖映射的局部模型都频繁产生浸入。

若 $M$ 紧致且 $N$ Hausdorff，那么单射浸入自动是嵌入：紧空间到 Hausdorff 空间的连续单射是到其像的同胚。更一般地，适当的单射浸入也是嵌入。这里真正补上的不是新的秩条件，而是阻止参数序列在像中发生失控回返的全局性质。

浸入还能把抽象流形的张量拉回定义域，例如环境度量经 $F$ 拉回后因 $dF$ 单射而正定。不过拉回度量只描述每一张局部片的内蕴长度，不能消除自交，也不能据此把浸入误判为嵌入。

参考资料

John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, 2nd ed., Springer, 2013, Ch. 4, immersions and the rank theorem.
Morris W. Hirsch, Differential Topology, Springer, 1976, Ch. 1, immersions, embeddings, and submanifolds.
Victor Guillemin and Alan Pollack, Differential Topology, Prentice-Hall, 1974, Ch. 1, immersions and local normal forms.

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