形式陈述

$n$$n$ 维光滑流形是 $n$$n$ 维 Hausdorff、第二可数拓扑流形 $M$$M$ 连同一个光滑结构。坐标图 $(U,\varphi)$$(U,\phi )$ 满足 $\varphi:U\to\varphi(U)\subseteq\mathbb R^n$$\phi :U\to \phi (U)\subseteq {\mathbb{R}}^n$ 为同胚；两图相容，若转移映射

$$ \psi\circ\varphi^{-1}:\varphi(U\cap V)\to\psi(U\cap V) $$$$\psi \circ {\phi }^{-1}:\phi (U\cap V)\to \psi (U\cap V)$$

在开域上为 $C^\infty$$C^{\mathrm{\infty }}$ 微分同胚。一个相互相容图册唯一扩张为极大光滑图册。除非另行说明，本条默认无边界；带边界流形用半空间坐标并要求相应光滑延拓。

直觉

拓扑流形只说局部像 Euclidean 空间；光滑结构进一步规定不同局部坐标之间如何无穷次可微地换算，从而使“求导”不依赖坐标选择。

例子与边界

$S^n$$S^n$、环面和一般正则曲面都有自然光滑结构。数字 8 形不是拓扑流形，因此更不可能成为光滑流形。光滑结构不是嵌入本身；抽象流形无需预先位于某个 $\mathbb R^N$${\mathbb{R}}^N$ 中。相同拓扑流形可能具有不等价光滑结构，例如高维中的异球面（exotic spheres），且 $\mathbb R^4$${\mathbb{R}}^4$ 还存在特殊的 exotic 光滑结构现象。$C^k$$C^k$ 图册只给有限阶可微结构，不能在不说明时自动视为 $C^\infty$$C^{\mathrm{\infty }}$。

推论与应用

光滑流形为切向量、微分形式、向量场、积分和 Riemann 几何提供坐标无关舞台，也是连续模型与局部微积分之间的桥梁。

参考资料

• John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, 2nd ed., Springer, 2013，Chs. 1–2, smooth structures, charts and manifolds with boundary。
• Michael Spivak, Calculus on Manifolds, W. A. Benjamin, 1965，Chs. 1–2, Euclidean differentiation and manifolds。