光滑流形

局部坐标把流形的一小块翻译到 ${\mathbb{R}}^n$，过渡映射则检查两种翻译是否给出同一套可微概念。单张图只是一种计算接口；真正的光滑结构是全部相容图表组成的极大图册。切向量、导数和微分形式之所以能摆脱坐标选择，正是因为重叠区域的翻译彼此光滑。

圆周 $S^1$ 可用去掉南极和北极的两张立体投影图覆盖。每张图把开弧送到 $\mathbb{R}$，重叠处的坐标变换及其逆都光滑，因此两图组成光滑图册。不存在单个全局实值角坐标，这正说明图册需要多张局部接口，而不是寻找一张覆盖所有点的参数表。

图册不能是任意坐标图的集合：只要某对转移映射不光滑，它们就不能属于同一光滑结构。$C^k$ 相容只给有限阶可微结构，不能自动升级为 $C^{\mathrm{\infty }}$。同一个拓扑流形还可能承载不等价光滑结构，高维异球面和 exotic ${\mathbb{R}}^4$ 说明“拓扑相同”并不唯一决定光滑结构。数字 8 形连拓扑流形都不是，因此更谈不上为它选择光滑图册。

多元导数公理库多元函数导数Derivative in several variables · Jacobian derivativeFréchet 导数在有限维 Euclidean 坐标中的 Jacobian、梯度与方向导数表示。经坐标相容性变成切空间公理库切空间Tangent space在一点由曲线速度或函数导子等价定义的局部线性空间。之间的映射，各点切空间再组成切丛。向量场、微分形式与Riemann 度量公理库Riemann 度量Riemannian metric在每一点切空间上光滑变化的正定内积。分别加入方向、可积分协变量和长度结构；单位分解则把局部构造平滑粘合。它们都需要本页的光滑图册，却各自增加新的对象，不应提前并入光滑流形的定义。