光滑流形

局部坐标把流形的一小块翻译到 ${\mathbb{R}}^n$，过渡映射则检查两种翻译是否给出同一套可微概念。单张图只是一种计算接口；真正的光滑结构是全部相容图表组成的极大图册。切向量、导数和微分形式之所以能摆脱坐标选择，正是因为重叠区域的翻译彼此光滑。

圆周 $S^1$ 可用去掉南极和北极的两张立体投影图覆盖。具体取 $u=x/(1-y)$ 与 $v=x/(1+y)$，分别定义在去北极、去南极的圆周上。重叠处 $x\ne 0$，由 $x^2+y^2=1$ 得 $uv=1$；转移映射 $v=1/u$ 在非零实数上及其逆都光滑，因此两图相容。不存在单个全局实值角坐标，这正说明图册需要多张局部接口，而不是寻找一张覆盖所有点的参数表。

图册不能是任意坐标图的集合：只要某对转移映射不光滑，它们就不能属于同一光滑结构。$C^k$ 相容只给有限阶可微结构，不能自动升级为 $C^{\mathrm{\infty }}$。同一个拓扑流形还可能承载不等价光滑结构，高维异球面和 exotic ${\mathbb{R}}^4$ 说明“拓扑相同”并不唯一决定光滑结构。数字 8 形连拓扑流形都不是，因此更谈不上为它选择光滑图册。

多元导数理路多元函数导数Derivative in several variables · Jacobian derivativeFréchet 导数在有限维 Euclidean 坐标中的 Jacobian、梯度与方向导数表示。经坐标相容性变成切空间理路切空间Tangent space在一点由曲线速度或函数导子等价定义的局部线性空间。之间的映射，各点切空间再组成切丛。向量场、微分形式与Riemann 度量理路Riemann 度量Riemannian metric在每一点切空间上光滑变化的正定内积。分别加入方向、可积分协变量和长度结构；单位分解则把局部构造平滑粘合。它们都需要本页的光滑图册，却各自增加新的对象，不应提前并入光滑流形的定义。

从已有流形构造商流形时，不能仅把等价类集合配上商拓扑就宣布完成。Lie 群的齐性空间理路Lie 群的齐性空间Homogeneous space of a Lie group · Lie group quotient G/H闭子群的陪集空间继承光滑结构，以 SO(3)/SO(2) 等于球面计算纤维、维数与切空间。在闭子群条件下建立局部商坐标，并通过 $\mathrm{SO}(3)/\mathrm{SO}(2)\cong S^2$ 计算丢掉的稳定子方向；非闭稠密子群则可能让商连 Hausdorff 条件都失去。

带边界光滑流形理路带边界光滑流形Smooth manifold with boundary · Outward-first boundary orientation · 诱导边界定向以半空间坐标定义光滑边界，构造边界点完整切空间，并用外向量优先规则计算圆环两条边界的方向。将本页的开集模型扩展为半空间相对开集，并证明光滑图册下的边界不变性。边界点仍有完整维数的切空间；半空间只限制点与实际曲线的可走方向，不把切空间变成半个向量空间。