光滑同痕

同伦允许橡皮膜压扁、穿透自身再展开；同痕则像一段不能撕裂、粘合或自穿的连续电影。每一帧都必须仍是嵌入，所以局部维数和全局点的身份始终保留。参数方向本身不要求成为环境中的新空间方向，它只记录嵌入怎样随时间变化。

环境同痕更强：不是只移动子流形，还同时拖动整个环境。对紧子流形，延拓定理常把两种观点连接起来，这正说明纽结类型为何在嵌入同痕中保持不变。若源非紧且运动在无穷远处失控，这种延拓可能不完整，二者差别便不可忽略。

同痕与刚性运动也不同。弯曲、伸缩和局部扭转都允许，只要每一帧仍为嵌入；长度、曲率等几何量可以改变，而结型、补空间的基本拓扑不会经环境同痕突然改变。

单位圆到椭圆的变形可写为

两个半轴在整个区间都为正。若 $F_t(\theta )=F_t(\varphi )$，分别除以非零半轴便得相同正弦与余弦，故 $\theta =\varphi$ 模 $2\pi$；导数

也从不为零。因此每帧都是圆周嵌入，这是一条可直接核验的同痕。

若改成 $G_t(\theta )=((1-t)\cos \theta ,(1-t)\sin \theta )$，在 $t=1$ 全圆塌成一点。它是从圆周包含到常值映射的连续同伦，却不是同痕。失败不在时间连续性，而在终帧既不单射、微分也为零。

更深的边界来自纽结。任意两个映射 $S^1\to {\mathbb{R}}^3$ 都可同伦，因为 ${\mathbb{R}}^3$ 可缩；但三叶结嵌入不能同痕到标准圆周嵌入，否则紧致源的同痕延拓会给出环境微分同胚，把两个纽结补空间对应起来，与其基本群等不变量矛盾。

对非紧源，逐帧良好不等于运动有统一紧支撑。例如直线整体平移当然由环境平移实现，却不可能由一个固定紧集内支撑的环境同痕实现；若定理版本要求紧支撑，就必须把这一限制写明。

同痕保持嵌入像的微分拓扑类型，并在可延拓时保持补空间、法丛及结型。对一族闭曲线，它允许用电影方式研究交点为何不能凭空穿越；对高维子流形，它是定义稳定嵌入分类、手术与配边中变形步骤的基本关系。

给定同痕 $F_t$，沿移动像定义速度

由于 $F_t$ 嵌入，这确实是像上的单值向量场。若能把 $V_t$ 延伸为环境中的完整时间依赖向量场，积分其流就得到环境同痕；管状邻域与紧支撑截断函数正是完成延伸与完整性的工具。

同痕还可附加“相对某子集固定”的条件。若 $F_t{|}_A$ 不随 $t$ 变化，延拓可相应固定 $F_0(A)$ 上的点；若要求环境同痕在 $F_0(A)$ 的整个邻域恒等，则必须更强地假设原同痕已在 $A$ 的某个邻域静止，再在较小邻域作相对延拓。点态固定与邻域固定不可混为同一条件，这一区分对保持边界、基点或既有结构尤其重要。