同痕延拓定理

同痕只告诉子流形上的点怎样走。延拓定理在其周围铺设一条随时间移动的管道，把轨迹速度从中心线向法向小圆盘传播，再在管道外平滑衰减为零。这样环境中靠近子流形的点随它一起移动，远处点保持不动。

紧致性同时解决覆盖和动力学问题：有限个局部管道足以控制整条轨迹，延伸后的速度又能限制在紧区域内，所以从 $t=0$ 积分到 $1$ 不会爆破。若只逐时延伸而不保证对 $t$ 光滑，所得常微分方程没有所需参数正则性；因此证明必须在 $M\times I$ 的整体轨迹上组织数据。

结论把“通过嵌入电影变形”升级为“由环境本身的连续坐标变化实现”。这使补空间和链接信息随同痕保持，也解释了为何真正的同痕不能让纽结绳穿过自身。

令 $F_t:S^1\to {\mathbb{R}}^2$ 为

它把单位圆扩张为半径 $1+t$ 的圆。全局微分同胚

满足 $H_0=\mathrm{id}$ 且 $H_t\circ F_0=F_t$，直接展示延拓。若要求紧支撑，可在包含半径 $1$ 到 $2$ 圆环的较大圆盘内选择径向截断函数，使径向速度在轨迹附近等于所需值、在圆盘外为零，再积分；定理保证这一局部化不会破坏对子流形的限制。

若一族映射中途出现自交，速度在交点可能从两个参数分支给出不同值，就无法定义单值环境向量场。例如让圆周收缩到一点再展开不是同痕，也不可能由环境微分同胚实现，因为微分同胚从不把多个点合并。

去掉紧致或支撑控制也不能保留原结论的“紧支撑”部分。实线嵌入自身的平移 $F_t(x)=x+t$ 是同痕，并由全局平移延拓；但任何紧支撑环境同痕都在充分远处固定点，不可能同时移动整条实线。若某个非紧运动的速度增长过快，候选环境场还可能有限时间爆破，连全局延拓都需另证完整性。

带边界环境中，若同痕把边界点送入内部，任何保持环境边界的微分同胚都不可能延拓它。正确的边界版要求原嵌入和所有切片与边界结构相容。

紧子流形的嵌入同痕因此等价于环境同痕意义下的可移动性。若 $F_0(M)$ 与 $F_1(M)$ 同痕，$H_1$ 给出一对环境—子流形的微分同胚

所以补空间、法丛、链接数与纽结群等环境不变量保持。

相对版本保留的静止范围必须与输入匹配：若原同痕只在子集 $A$ 上逐点固定，可令 $H_t$ 固定 $F_0(A)$；若原同痕在 $A$ 的一个邻域内静止，才可令 $H_t$ 在较小环境邻域内恒等。这对拼接局部变形、固定边界和逐个移动交点很重要。证明仍是同一机制，只需让延伸速度在相对区域为零，并选择从属其补集的截断函数。

微分拓扑中的消去交点、调整横截位置和证明 collar 唯一性，常先在子流形上设计同痕，再用本定理把它变成环境操作。定理只负责延拓已经合法的嵌入电影，不负责生成同痕，也不把普通同伦提升为同痕。

结与链环理路结与链环Knot and link把结定义为圆在三维空间中的嵌入，区分结型、链环分支、投影图与过欠交叉，并验证三叶结参数化。把本定理应用到紧致圆周的空间嵌入：每一帧都保持嵌入的绳圈变形，可以扩张为整个三维环境的移动。这样补空间不变量才能随结型保存，平面投影图则还须记录每个交叉的过欠关系。