管状邻域定理

在子流形每一点竖起一小片法向圆盘，足够短时，每个附近环境点应有唯一的“脚点”和法向位移。管状邻域定理把这幅图变成精确坐标：底点沿 $M$ 移动，纤维坐标离开 $M$，二者合计维数正好是 $\dim N$。

难点不在单个点，而在让所有局部法向片同时不重叠。紧致性允许从有限覆盖中抽取统一最小半径；非紧情形可能有曲率越来越大或不同远处支段越来越靠近，任何固定半径最终都会相撞，所以必须让管道逐渐变细。

定理说明嵌入的一阶法丛控制足够小的整个环境邻域。它不说两个不同嵌入只要法丛同构就全局等价，因为结、远距离缠绕和邻域之外的补空间仍保存大量信息。

对单位圆 $S^1\subset {\mathbb{R}}^2$，用径向单位法向得到显式映射

当 $|s|<1$ 时，像是穿孔圆盘 $0<\sqrt{x^2+y^2}<2$，每个点的脚点和有符号半径唯一，$\mathrm{\Theta }$ 是微分同胚。若允许 $s=-1$，所有法纤维都在原点汇合，单射性立即失败；因此“法向指数处处有定义”远弱于“在该半径上给管状坐标”。

非紧嵌入可以没有统一半径。平面中的对数螺线

是无自交的嵌入，其相邻圈距随 $t\to \mathrm{\infty }$ 趋于零。任取固定 $\epsilon >0$，足够靠近原点时不同圈的 $\epsilon$-法向带会相交；但取随 $t$ 衰减的半径仍能得到管状邻域。这里原点不属于像，因而这种累积不破坏嵌入，却破坏统一管宽。

浸入假设不够：八字曲线在自交点附近的两套法向坐标无法唯一表示环境点。带边界子流形也需修订。闭区间嵌入平面时，普通法线条在端点只给横向方向，而任意环境开邻域还包含越过端点的切向点；要得到正确模型，必须使用 collar、圆角或整齐嵌入的边界版，而不是套用上述无边界陈述。

缩小 $V$ 使它在纤维缩放下封闭，便可按通常的时间方向定义

于是 $H_0={\mathrm{id}}_U$、$H_1(U)=M$，且 $M$ 上各点始终固定；这把 $U$ 强形变收缩到 $M$。因此足够小的环境邻域与子流形有相同同伦型；de Rham 上同调、局部系数与许多邻域计算都可搬到法丛上完成。

管状坐标还能延伸沿 $M$ 给定的向量场、微分形式或函数，并构造只在 $M$ 附近起作用的截断函数。证明同痕延拓时，一族嵌入的速度先定义在移动子流形上，再借管状投影扩展到邻域，最后用单位分解截成紧支撑环境向量场。

在交点理论中，子流形的 Thom 类位于管状邻域的相对上同调；沿法纤维积分可得到 Gysin 映射。所有这些构造依赖一条真实的嵌入及其管状模型，不能把有自交的参数像未经分支记录就当作同一零截面。