单位分解

形式陈述 ​

设 $M$ 是 Hausdorff、第二可数的光滑流形公理库光滑流形Smooth manifold坐标图之间转移映射光滑的拓扑流形。，$\{U_{\alpha }{\}}_{\alpha \in A}$ 是任意开集公理库开集Open set拓扑中被指定为开放的子集，是邻域、连续与内部的基本单位。覆盖。存在光滑函数族 $\{{\phi }_i{\}}_{i\in I}$ 和映射 $i\mapsto \alpha (i)$，满足：

$$0\le {\phi }_i\le 1,\mathrm{supp}{\phi }_i\subseteq U_{\alpha (i)},$$

函数族局部有限，并且对每个 $p\in M$，

$$\sum _{i\in I}{\phi }_i(p)=1.$$

这里 $\mathrm{supp}{\phi }_i$ 是非零集合的闭包。局部有限表示每个点都有邻域只遇到有限多个支集，所以求和在每点附近实际是有限和，因而保持光滑。这样的函数族称从属于给定覆盖的光滑单位分解。

证明骨架分三步。先用流形的仿紧性取得局部有限加细，并选择开集 $V_i$ 使 $\overline{V_i}\subseteq U_{\alpha (i)}$；再用光滑 bump functions 构造 ${\psi }_i\ge 0$，使其支集位于 $U_{\alpha (i)}$ 且较小的 $V_i$ 仍被正值区覆盖；最后令

$$\mathrm{\Psi }=\sum _i{\psi }_i,{\phi }_i=\frac{{\psi }_i}{\mathrm{\Psi }}.$$

局部有限性保证 $\mathrm{\Psi }$ 光滑，覆盖性保证 $\mathrm{\Psi }>0$，归一化便得到和为一。

直觉 ​

单位分解是一组平滑权重。在每一点附近只有有限个权重参与，而且权重总和恰为一，因此可以把不同坐标片上的局部对象做凸式加权，得到全局对象。它不是把局部公式生硬拼接，而是在重叠区域平滑过渡。

支集从属于覆盖保证每个权重只在相应局部构造有效的地方起作用。局部有限性同时解决两个问题：无穷和在局部仍是有限计算，且微分可逐项进行。

例子与边界 ​

圆周可由两个略大于半圆的开弧覆盖。分别在两弧内选 bump functions ${\psi }_1,{\psi }_2$，使它们没有共同为零的点，再归一化为

$${\phi }_i=\frac{{\psi }_i}{{\psi }_1+{\psi }_2}.$$

于是 ${\phi }_1+{\phi }_2=1$，每个函数的支集都留在对应开弧内。若各坐标片上已有 Riemann 度量 $g_i$，则 $\sum _i{\phi }_i{g}_i$ 仍逐点正定且光滑，从而给出全局Riemann 度量公理库Riemann 度量Riemannian metric在每一点切空间上光滑变化的正定内积。。

“从属”要求支集的闭包包含在覆盖成员中，而不仅是非零点集落在其中；忽略闭包可能让函数在覆盖边界附近失去受控邻域。局部有限也不等于全局有限：非紧流形通常需要无限多个函数，只有在紧致情形可先取有限子覆盖。

任意拓扑空间未必存在从属于每个开覆盖的单位分解；仿紧性与足够的分离性质是核心。光滑版本还依赖 bump functions。单位分解也不能把彼此不相容的局部函数粘成一个在每个片上都逐点等于原函数的全局函数；加权平均只给出新的全局对象，除非局部数据在重叠处本来就相容。

推论与应用 ​

单位分解可把局部内积加权为全局度量，把局部截面拼成向量丛公理库光滑向量丛Vector bundle · Smooth vector bundle · 向量丛纤维为同维向量空间、并在流形上局部以光滑保线性方式平凡化的丛。的全局截面，并用于定义流形上的积分。配合局部坐标，它还能构造嵌入、近似与紧支撑函数。对微分形式公理库微分形式Differential form在每点切空间上光滑变化的交替多线性协变量场。，加权和保持形式次数，但外微分会额外产生 $d{\phi }_i\wedge {\omega }_i$，因此微分方程约束是否保持需要另行核对。

定理把“流形局部像 Euclidean 空间”提升为真正可用的局部到全局机制。其力量来自覆盖、支集与局部有限三项同时成立；只写“取权重使和为一”会遗漏存在性证明中最关键的拓扑条件。

参考资料

• John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, 2nd ed., Springer, 2013, Ch. 2, bump functions and partitions of unity.
• Raoul Bott and Loring W. Tu, Differential Forms in Algebraic Topology, Springer, 1982, Ch. I, partitions of unity and manifold constructions.