单位分解 | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $M$ 是 Hausdorff、第二可数的光滑流形， $\{U_\alpha\}_{\alpha\in A}$ 是任意开集覆盖。存在光滑函数族 $\{\varphi_i\}_{i\in I}$ 和映射 $i\mapsto\alpha(i)$ ，满足：

0\le\varphi_i\le1,\qquad \operatorname{supp}\varphi_i\subseteq U_{\alpha(i)},

函数族局部有限，并且对每个 $p\in M$ ，

\sum_{i\in I}\varphi_i(p)=1.

这里 $\operatorname{supp}\varphi_i$ 是非零集合的闭包。局部有限表示每个点都有邻域只遇到有限多个支集，所以求和在每点附近实际是有限和，因而保持光滑。这样的函数族称从属于给定覆盖的光滑单位分解。

证明骨架分三步。先用流形的仿紧性与坐标邻域的收缩，取得局部有限的坐标开覆盖 $\{W_i\}$ 和仍覆盖 $M$ 的较小开集 $\{V_i\}$ ，使 $\overline{V_i}$ 紧且 $\overline{V_i}\subseteq W_i\subseteq U_{\alpha(i)}$ 。再在各坐标片内用光滑 bump functions 构造 $0\le\psi_i\le1$ ，使 $\psi_i=1$ 于 $\overline{V_i}$ ，且 $\operatorname{supp}\psi_i\subseteq W_i$ ；把它们在片外零延拓。支集受局部有限族 $\{W_i\}$ 控制，才保证 $\{\psi_i\}$ 局部有限；仅把支集放进原覆盖的 $U_{\alpha(i)}$ 中并不足够。最后令

\Psi=\sum_i\psi_i,\qquad \varphi_i=\frac{\psi_i}{\Psi}.

局部有限性保证 $\Psi$ 光滑，覆盖性保证 $\Psi>0$ ，归一化便得到和为一。

紧 Hausdorff 空间上的连续版本

若 $X$ 是紧 Hausdorff 空间，每个开覆盖也有从属的有限连续单位分解；这里不要求 $X$ 是流形，函数也不声称光滑。紧 Hausdorff 空间的正规性允许在每点附近选择开集 $V_j,W_j$ ，使 $\overline{V_j}\subset W_j\subset\overline{W_j}\subset U_{\alpha(j)}$ 。由紧致性，可选有限多个 $V_j$ 覆盖 $X$ 。

对不交闭集 $\overline{V_j}$ 与 $X\setminus W_j$ ，Urysohn 引理给出连续 $0\le\psi_j\le1$ ，分别取值 $1$ 与 $0$ 。于是 $\operatorname{supp}\psi_j\subseteq\overline{W_j}\subset U_{\alpha(j)}$ ，且有限和 $\Psi=\sum_j\psi_j$ 处处为正。取 $\varphi_j=\psi_j/\Psi$ 即得所需权重。按同一覆盖成员合并有限个权重，仍保持支集从属。

有限 CW 复形是紧 Hausdorff 空间，因此向量丛分类中的有限局部标架可用这些连续权重粘合；这个过程不需要给胞腔接缝添加光滑结构。

直觉

单位分解是一组平滑权重。在每一点附近只有有限个权重参与，而且权重总和恰为一，因此可以把不同坐标片上的局部对象做凸式加权，得到全局对象。它不是把局部公式生硬拼接，而是在重叠区域平滑过渡。

支集从属于覆盖保证每个权重只在相应局部构造有效的地方起作用。局部有限性同时解决两个问题：无穷和在局部仍是有限计算，且微分可逐项进行。

例子与边界

圆周可由两个略大于半圆的开弧覆盖。分别在两弧内选 bump functions $\psi_1,\psi_2$ ，使它们没有共同为零的点，再归一化为

\varphi_i=\frac{\psi_i}{\psi_1+\psi_2}.

于是 $\varphi_1+\varphi_2=1$ ，每个函数的支集都留在对应开弧内。若各坐标片上已有 Riemann 度量 $g_i$ ，则 $\sum_i\varphi_i g_i$ 仍逐点正定且光滑，从而给出全局Riemann 度量。

“从属”要求非零点集的闭包包含在覆盖成员中，而不仅是非零点集落在其中；忽略闭包可能让函数在覆盖边界附近失去受控邻域。局部有限也不等于全局有限：紧致性保证每个给定开覆盖都有有限子覆盖，因而可选取有限个函数；非紧流形的某些覆盖也可能是有限的，例如实线的覆盖 $\{\mathbb R\}$ 就有单位分解 $\{1\}$ 。

任意拓扑空间未必存在从属于每个开覆盖的单位分解；仿紧性与足够的分离性质是核心。光滑版本还依赖 bump functions。单位分解也不能把彼此不相容的局部函数粘成一个在每个片上都逐点等于原函数的全局函数；加权平均只给出新的全局对象，除非局部数据在重叠处本来就相容。

推论与应用

单位分解可把局部内积加权为全局度量，把局部截面拼成向量丛的全局截面，并用于定义流形上的积分。配合局部坐标，它还能构造嵌入、近似与紧支撑函数。对微分形式，加权和保持形式次数，但外微分会额外产生 $d\varphi_i\wedge\omega_i$ ，因此微分方程约束是否保持需要另行核对。

定理把“流形局部像 Euclidean 空间”提升为真正可用的局部到全局机制。其力量来自覆盖、支集与局部有限三项同时成立；只写“取权重使和为一”会遗漏存在性证明中最关键的拓扑条件。

形式 Mayer–Vietoris 序列给出一个支集条件不可省略的用途：重叠区上的任意形式 $\alpha$ ，乘以另一侧的权重后可以光滑零延拓到本侧。权重在接缝外每一点附近都恒为零，因此即使原形式靠近接缝不受界控制，也不妨碍延拓；微分权重产生的额外项随后组成连接同态。有限好覆盖的 de Rham 比较以这条短正合列和光滑小链的对应序列完成归纳。

同一个零延拓机制也能逐项消去Čech接缝余循环：对光滑模层， $h(c)_{i_0\cdots i_{p-1}}=\sum_j\varphi_jc_{ji_0\cdots i_{p-1}}$ 满足 $\delta h+h\delta=1$ 。无上同调分解写出这个收缩，并解释为什么整数局部系统没有合法的实权重乘法。

参考资料

Allen Hatcher，Vector Bundles and K-Theory，§1.2 附录，Proposition 1.18，印刷 p. 35：紧 Hausdorff 空间上的连续单位分解。
Marco Gualtieri, 1300Y Geometry and Topology，§2.3，Lemma 2.17 与 Theorem 2.18：局部有限坐标细化、较小开集仍覆盖，以及受控支集的归一化。
John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, 2nd ed., Springer, 2013, Ch. 2, bump functions and partitions of unity.
Raoul Bott and Loring W. Tu, Differential Forms in Algebraic Topology, Springer, 1982, Ch. I, partitions of unity and manifold constructions.

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