光滑向量丛

形式陈述 ​

设 $M$ 是光滑流形公理库光滑流形Smooth manifold坐标图之间转移映射光滑的拓扑流形。。秩为 $r$ 的实光滑向量丛由光滑满射

$$\pi :E\to M$$

给出，并要求每个纤维 $E_p={\pi }^{-1}(p)$ 是 $r$ 维实向量空间公理库向量空间Vector space标量域作用下满足线性公理的加法阿贝尔群。；对每个 $p\in M$，存在邻域 $U$ 和微分同胚

$$\mathrm{\Phi }:{\pi }^{-1}(U)⟶U\times {\mathbb{R}}^r$$

使 ${\mathrm{pr}}_1\circ \mathrm{\Phi }=\pi$，且 $\mathrm{\Phi }{|}_{E_q}:E_q\to \{q\}\times {\mathbb{R}}^r$ 对每个 $q\in U$ 都是线性同构。这样的 $\mathrm{\Phi }$ 称局部平凡化。若只要求连续同胚，则得到拓扑向量丛。

本页默认光滑范畴。若把底空间改为拓扑空间，并把满射、局部平凡化与过渡函数的正则性都降为连续，则得到拓扑向量丛。两种范畴使用相同的纤维线性骨架，但不能混用它们的正则性条件。

两个平凡化在重叠 $U_{\alpha }\cap U_{\beta }$ 上相差光滑映射

$$g_{\alpha \beta }:U_{\alpha }\cap U_{\beta }\to GL(r,\mathbb{R}),$$

并满足 $g_{\alpha \alpha }=I$、$g_{\alpha \beta }{g}_{\beta \gamma }=g_{\alpha \gamma }$。光滑截面是满足 $\pi \circ s={\mathrm{id}}_M$ 的光滑映射 $s:M\to E$；局部标架是 $r$ 个在每点构成纤维基的局部截面。

直觉 ​

向量丛把一个向量空间放在底空间的每一点上，并规定这些空间怎样连续或光滑地变化。局部看，它总是乘积公理库积拓扑Product topology由有限坐标限制的基本开集生成的笛卡尔积拓扑。 $U\times {\mathbb{R}}^r$；整体沿闭路绕一圈后，纤维坐标却可能发生不可消去的扭转。过渡函数记录的正是不同局部坐标对同一纤维向量的换基关系。

纤维之间没有天然加法。只有同一 $E_p$ 内的两个向量能直接相加；若要比较不同点的向量，需要平凡化、联络或其他额外结构。总空间 $E$ 也通常不是一个大向量空间，因为不同纤维没有共同零点和统一加法。

例子与边界 ​

平凡丛 $M\times {\mathbb{R}}^r\to M$ 的纤维都是显式副本 $\{p\}\times {\mathbb{R}}^r$，常值标准基给出全局标架。Möbius 带投影到圆周是秩一实向量丛：每段小弧上都像 $U\times \mathbb{R}$，但绕圆一周纤维坐标反号，因而不存在处处非零的全局截面，也不与圆周上的平凡线丛同构。

流形切空间的并集会形成切丛；它是最重要的非人为例子。相反，仅给每点指定一个与 ${\mathbb{R}}^r$ 同构的集合并不足以构成向量丛：还必须给总空间拓扑或光滑结构，并证明存在相容的局部平凡化。纤维维数若在同一连通分支跳变，也不满足固定秩定义。

“局部平凡”不等于“全局平凡”。全局平凡要求存在覆盖整个 $M$ 的标架，等价于一个全局丛同构 $E\cong M\times {\mathbb{R}}^r$。另一方面，零截面在任何向量丛上都存在，所以“有截面”本身不能证明平凡；秩 $r$ 丛需要 $r$ 个处处线性无关的全局截面。

推论与应用 ​

向量丛可以取对偶、直和、张量积和外幂，过渡函数按对应线性代数运算变换。切丛与余切丛公理库切丛与余切丛Tangent bundle · Cotangent bundle把流形各点的切空间及其对偶分别粘合成秩等于流形维数的光滑向量丛。把每点的切空间及其对偶组织成光滑丛；微分形式公理库微分形式Differential form在每点切空间上光滑变化的交替多线性协变量场。则是余切丛外幂的截面。丛的截面把局部线性数据变成可在流形上求导、积分和比较的场。

过渡函数的 cocycle 不仅负责粘合，也编码整体拓扑。无法选取全局标架的障碍会导向特征类；选择联络公理库联络与协变导数Connection · Covariant derivative在向量丛上按方向微分截面，并以 Leibniz 规则控制函数系数的结构。后，才可沿曲线比较不同纤维中的向量。特征类与联络都属于向量丛之上的附加结构，不是局部平凡性定义的一部分。

参考资料

• John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, 2nd ed., Springer, 2013, Ch. 10, vector bundles and sections.
• Dale Husemöller, Fibre Bundles, 3rd ed., Springer, 1994, Chs. 1–3, local triviality and vector bundles.