形式陈述

设 $U\subseteq\mathbb R^n$$U\subseteq {\mathbb{R}}^n$ 开，$f:U\to\mathbb R^m$$f:U\to {\mathbb{R}}^m$。若存在唯一线性映射 $A:\mathbb R^n\to\mathbb R^m$$A:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ 使

$$ \frac{\|f(a+h)-f(a)-Ah\|}{\|h\|}\longrightarrow0\qquad(h\to0), $$$$\frac{\Vert f(a+h)-f(a)-Ah\Vert }{\Vert h\Vert }⟶0(h\to 0),$$

则称 $f$$f$ 在 $a$$a$ Fréchet 可微，$Df(a)=A$$Df(a)=A$。链式法则为

$$ D(g\circ f)(a)=Dg(f(a))\circ Df(a). $$$$D(g\circ f)(a)=Dg(f(a))\circ Df(a).$$

在有限维中，若所有一阶偏导在邻域存在且在 $a$$a$ 连续，则 $f$$f$ 在 $a$$a$ 可微；仅有各方向导数或全部偏导存在并不足够。

直觉

多元导数必须用一个线性映射同时预测所有方向，而不是分别记录坐标方向斜率。统一的小余项条件排除了“沿每条直线看似良好、合在一起却不线性”的病态。

例子与边界

$f(x)=Ax+b$$f(x)=Ax+b$ 的导数恒为 $A$$A$。函数 $f(x,y)=x^2+y^2$$f(x,y)=x^2+y^2$ 在 $(x,y)$$(x,y)$ 的导数是 $h\mapsto2xh_1+2yh_2$$h\mapsto 2x{h}_1+2y{h}_2$。函数

$$ f(x,y)=\begin{cases}\frac{x^3}{x^2+y^2},&(x,y)\ne0,\\0,&(x,y)=0, \end{cases} $$$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^3}{x^2+y^2},& (x,y)\ne 0,\\ 0,& (x,y)=0,\end{array}$$

在原点各方向导数存在，但方向导数对方向不构成线性映射，因此不可 Fréchet 微。导数依赖所用范数，但有限维所有范数等价，是否可微不受选择影响；无限维中仍需明确赋范结构。

推论与应用

Fréchet 导数统一梯度、Jacobian、切映射和线性化，是逆/隐函数定理、优化、ODE 与流形微分的共同语言。

参考资料

• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1976，Ch. 9, differentiation of maps between Euclidean spaces。
• Michael Spivak, Calculus on Manifolds, W. A. Benjamin, 1965，Ch. 2, derivative as a linear transformation and the chain rule。