多元函数导数

一般的 Fréchet 可微性公理库Fréchet 可微性Differentiability · Fréchet differentiability赋范空间之间的映射在一点能被单一有界线性主部一致逼近的性质。要求一个线性映射统一控制局部误差；本条只把它放进有限维 Euclidean 坐标。在 $a$ 附近不断放大，$f$ 的图像越来越接近由 $Df(a)$ 决定的仿射平面。偏导数只沿坐标轴探测函数，而全微分要求同一个线性映射同时预测所有方向。正因如此，复合与求逆在导数层面变成线性映射的复合与矩阵乘法。

导数、Jacobian 与梯度的层次 ​

$Df(a)$ 是从输入增量到输出一阶变化的线性映射，不依赖坐标。Jacobian 是选择定义域与陪域基之后的矩阵；换基会改变矩阵条目，却不会改变 $Df(a)$。因此矩阵计算必须保留基的约定，不能把某一张 Jacobian 当成坐标无关对象。

当输出为实数时，$Df(a)$ 是线性泛函。选定 Euclidean 内积后，Riesz 表示把它写成向量 $\mathrm{\nabla }f(a)$；若把内积改为 $⟨u,v{⟩}_G=u^{\mathrm{\top }}Gv$，表示同一泛函的梯度会变为 $G^{-1}\mathrm{\nabla }f(a)$。导数没有改变，改变的是用哪个向量代表它。这一点在自然梯度、流形优化和条件数分析中尤其重要。

取 $f:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$，

在点 $(x,y)$，导数是线性映射

其标准基下的 Jacobian 为

这两个式子描述同一个导数：前者是线性映射，后者是选定坐标后的矩阵。若各偏导数在某邻域存在并在考察点连续，则可推出 Fréchet 可微；“所有偏导存在”本身仍不够。

连续偏导为何足够，可以从坐标方向逐步移动看出。把 $f(a+h)-f(a)$ 拆成每次只改变一个坐标的增量，再对每段应用一元中值定理；偏导在 $a$ 附近的连续性使这些系数统一接近 $J_f(a)$ 的相应列，剩余误差便是 $o(\Vert h\Vert )$。这个论证控制所有方向，而不是分别验证若干坐标轴。

反方向的蕴含全部失效，且失效得很彻底。取

沿单位方向 $v=(\cos \theta ,\sin \theta )$ 有 $f(tv)/t={\cos }^3\theta$，故原点处所有方向导数都存在；但 $v\mapsto {\cos }^3\theta$ 不是 $v$ 的线性函数，因此 $f$ 在原点不可微。这个反例揭示了核心缺口：逐方向极限必须拼成统一线性映射，才可能成为全微分。

定义中出现的范数在有限维上可任意选取，因为所有范数等价。到无限维空间则必须先指定赋范结构公理库赋范向量空间Normed vector space带满足正定、齐次与三角不等式范数的向量空间。；换范数可能改变映射是否可微。

链式法则公理库链式法则Chain rule复合映射的导数等于各层导数按计算顺序组成的线性映射复合。在此框架下就是线性映射的复合：若 $f$ 在 $a$ 可微、$g$ 在 $f(a)$ 可微，则

对应 Jacobian 矩阵相乘。特殊情形各有名字：$m=1$ 时 $Df(a)$ 由梯度公理库梯度Gradient标量函数微分在内积下对应的向量。经内积表示；$n=1$ 时它给出曲线的速度向量。当 $Df(a)$ 可逆时，反函数定理公理库逆函数定理Inverse function theorem导数可逆的光滑映射在该点邻域内存在光滑局部逆。保证 $f$ 局部可逆，隐函数定理公理库隐函数定理Implicit function theorem当相关偏导块可逆时，方程组局部可把部分变量表示为其余变量的函数。则从满秩条件解出隐式约束——两者都是"线性化性质提升为局部非线性性质"的范式。

矩阵乘法的顺序也由复合顺序决定：先作用 $Df(a)$，再作用 $Dg(f(a))$。把两个 Jacobian 反过来相乘不仅可能形状不匹配，即使都是方阵，也会表达另一种线性变换。

在数值分析中，$\Vert Df(a)\Vert$ 描述给定范数下的一阶局部敏感性，是问题条件性公理库问题条件性与条件数Conditioning of a problem · Condition number度量问题真解对输入微扰的局部敏感性，并把这种固有敏感性与算法误差分开。的线性化入口，但它不等于跨越整个区域的 Lipschitz 常数。

标量函数的二阶 Fréchet 导数由Hessian 矩阵公理库Hessian 矩阵Hessian matrix · Hessian标量函数二阶 Fréchet 导数在坐标中的矩阵表示，用于描述局部曲率与二次近似。表示，把多元 Taylor 展开的二次项与局部曲率集中到一个双线性形式中。二阶偏导只有在适当正则性下才可交换。

优化中的一阶必要条件 $\mathrm{\nabla }f(a)=0$、Newton 法公理库Newton 非线性方程法Newton's method · Newton-Raphson method · Newton method for nonlinear systems在当前点解一阶线性化方程来修正非线性方程的近似解，并分析其局部二次收敛与失效边界。的线性化步骤都直接使用本定义；把定义域从开集换成流形，导数升级为切空间公理库切空间Tangent space在一点由曲线速度或函数导子等价定义的局部线性空间。之间的切映射，符号仍是同一个 $Df$。