守恒律的弱解 | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $u_0\in L^\infty(\mathbb R)$ ，通量 $f$ 连续。函数 $u$ 称为标量守恒律

u_t+\partial_x f(u)=0,\qquad u(\cdot,0)=u_0

的弱解，如果 $u,f(u)\in L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb R\times[0,\infty))$ ，并且对每个 $\varphi\in C_c^1(\mathbb R\times[0,\infty))$ 都有

\int_0^\infty\!\!\int_{\mathbb R} \left(u\varphi_t+f(u)\varphi_x\right)\,\mathrm dx\,\mathrm dt +\int_{\mathbb R}u_0(x)\varphi(x,0)\,\mathrm dx=0.

上述时空积分与初值积分都是相应 Lebesgue 测度下的Lebesgue 积分；局部可积指可测函数的绝对值在每个紧集上积分有限。这里也包括触及 $t=0$ 的有界时空片段；只在开半平面内部可积，未必让上述积分有定义。这一定义把导数从可能间断的 $u$ 与 $f(u)$ 转移到光滑测试函数上。初值项来自时间方向分部积分；若测试函数的支集避开 $t=0$ ，只得到内部的分布方程，不能据此声称已经施加初值。

在有限区间 $(a,b)$ 上，测试函数不必在空间边界消失时还会出现边界通量项。要写完整初边值弱形式，必须给出 $u(a+,t)$ 、 $u(b-,t)$ 的适当迹或等价边界熵条件，并说明流入信息怎样进入。把整实线公式截短后直接删除端点项，会把开系统误写成封闭系统。

若 $u$ 在一条光滑曲线 $x=\gamma(t)$ 两侧分别光滑，左、右迹为 $u_L,u_R$ ，将分部积分分别用于曲线两侧，界面系数必须为零：

\gamma'(t)(u_R-u_L)=f(u_R)-f(u_L).

这就是Rankine–Hugoniot 条件的来源。它保证跨间断仍守恒，却不判断该间断是否符合熵方向。

直觉

弱形式不是降低方程精度，而是改用控制体能观测的量。测试函数像一个平滑的时空窗口： $\varphi_t$ 与 $\varphi_x$ 记录窗口边界怎样移动，积分恒等式要求窗口内的总量变化与穿过边界的通量完全配平。窗口可以任意缩放和移动，因此这套积分账本仍然在每个局部约束解。

经典解必然是弱解，只要正则性足以分部积分；反向不成立，因为弱解允许真实跳跃。跳跃处的点值怎么指定不影响积分，真正可识别的是两侧迹和移动速度。正因定义只保留守恒而没有时间不可逆性，它会接纳若干宏观上不合理的解，唯一性必须由额外熵不等式恢复。

例子与边界

对 Burgers 方程 $u_t+(u^2/2)_x=0$ ，考虑

u(x,t)= \begin{cases} 2,&x<t,\\ 0,&x>t. \end{cases}

跳跃速度为 $s=1$ ，而

s(u_R-u_L)=1(0-2)=-2 =f(0)-f(2),

所以界面产生的分布质量恰好抵消，函数是弱解。若错误地让同一跳跃以 $s=3/2$ 移动，界面残差为

[f]-s[u]=-2-\frac32(-2)=1,

弱形式中会留下 $1\cdot\delta_{x=3t/2}$ ，因此不是解。速度不是绘图时可调的参数。

非唯一性可用反向端态直接复算。初值 $u_L=0,u_R=2$ 既有稀疏扇

u=0\ (\xi<0),\qquad u=\xi\ (0<\xi<2),\qquad u=2\ (\xi>2), \quad \xi=x/t,

也有以 $s=(f(2)-f(0))/(2-0)=1$ 移动的跳跃。两者都满足分布守恒和同一初值；后一条却让特征从间断向外发散，是非熵“膨胀激波”。因此“满足弱形式”不能与“物理解唯一”画等号。

弱收敛还有非线性边界。若 $u_h\rightharpoonup u$ ，通常不能仅凭这一点推出 $f(u_h)\rightharpoonup f(u)$ ；快速振荡会在非线性通量中留下不同平均。Lax–Wendroff 型识别定理需要一致有界、守恒一致格式以及足够强的几乎处处或局部 $L^1$ 收敛。含测度集中、非保守乘积或不连续通量的问题还需另行定义，不能无条件套用这里的局部可积函数弱解。

推论与应用

弱形式直接给出守恒格式的设计准则：离散方程应先对控制体积分，再以同一个界面通量连接相邻单元。网格求和时内部通量抵消，正是连续分部积分在离散层的对应。若一个点值格式不能改写成通量差，单凭局部截断误差趋零不能保证其极限遵守正确跳跃速度。

在分析中，弱解是最低识别层，而不是终点。对凸标量通量，熵解理论在弱解之上加入所有凸熵对的不等式，得到唯一性和 $L^1$ 收缩；对双曲方程组，通常还需逐特征族分析激波、接触间断和稀疏波。边界问题则必须把内部弱形式与流入边界可接受性配套，不能用整线上的唯一性结论掩盖缺失的边界迹。

参考资料

Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations, 2nd ed., American Mathematical Society, 2010, §3.4.
Constantine M. Dafermos, Hyperbolic Conservation Laws in Continuum Physics, 4th ed., Springer, 2016, Ch. 4.
E. Godlewski and P.-A. Raviart, Numerical Approximation of Hyperbolic Systems of Conservation Laws, Springer, 1996, Ch. 1.

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