Rankine–Hugoniot 条件 | Codeboy's Blog

形式陈述

设守恒律弱解 $u$ 在曲线 $x=\gamma(t)$ 两侧光滑，并有迹

u_L(t)=u(\gamma(t)-,t),\qquad u_R(t)=u(\gamma(t)+,t).

以 $[g]=g_R-g_L$ 记跳跃。弱形式在界面上的奇异项必须消失，因而

\gamma'(t)[u]=[f(u)].

若左右状态常数且 $u_L\ne u_R$ ，间断以常速度

s=\frac{f(u_R)-f(u_L)}{u_R-u_L}

传播。这是 Rankine–Hugoniot 条件。它是守恒的必要界面条件；对分片光滑函数，若每个光滑区满足 PDE、每条跳跃满足此式并正确接上初边界迹，则也给出分布解的局部拼接条件。

推导可用跨越界面的移动控制体。对端点 $a(t)<\gamma(t)<b(t)$ ，Reynolds 公式把总量导数写成体内变化与移动端点贡献；让控制体宽度趋零，外部光滑项消失，只剩“界面扫过的量” $s[u]$ 与“通量跳跃” $[f]$ 。因此 $s$ 不是由特征速度任取的平均，而由弦斜率唯一确定。

对系统 $U_t+F(U)_x=0$ ，条件变为

s(U_R-U_L)=F(U_R)-F(U_L).

这是向量方程：一个标量 $s$ 必须同时满足所有守恒分量。多维移动曲面若法向速度为 $V_n$ 、单位法向为 $n$ ，则

V_n[U]=n\cdot[F(U)].

法向约定反转会同时改变两侧标记，最终物理关系不变，但计算时必须固定同一约定。

直觉

移动激波像一扇扫过空间的门。门向右移动时，会把左右密度差 $u_R-u_L$ 所对应的量吞入或释放；与此同时，两侧通量以不同速率把量送到门边。只有 $s[u]=[f]$ 时，门本身不需要储存一个未建模的点质量，整个时空小盒子的账才能闭合。

通量图上， $s$ 是连接 $(u_L,f(u_L))$ 与 $(u_R,f(u_R))$ 的弦斜率，而 $f'(u_L),f'(u_R)$ 是端点切线斜率。弦斜率决定守恒速度，切线斜率决定特征相对激波是流入还是流出。前者由本条件负责，后者由熵条件负责；把二者混为一句“激波沿特征走”会给出错误速度。

例子与边界

对 Burgers 方程，取 $u_L=3,u_R=1$ 。通量值为 $f(3)=9/2$ 、 $f(1)=1/2$ ，所以

s=\frac{1/2-9/2}{1-3}=2.

直接代回可得

s[u]=2(1-3)=-4=[f].

在时刻 $t=0.4$ ，从原点出发的跳跃位于 $x=0.8$ 。若把速度误写成左特征速度 $3$ ，残差为 $[f]-3[u]=-4+6=2$ ，分布方程会多出 $2\delta_{x=3t}$ ；图形看似仍是一条移动阶跃，却不守恒。

同样的代数也暴露可容许性边界。反向状态 $u_L=1,u_R=3$ 仍给 $s=2$ ，所以 Rankine–Hugoniot 条件接受该膨胀激波。然而左右特征速度为 $1$ 与 $3$ ，特征从界面向外离开；它应由熵条件排除。守恒跳跃关系不蕴含唯一性、稳定性或物理方向。

接触间断与普通激波也要区分。在线性通量 $f(u)=au$ 下，任意两状态都给 $s=a$ ，两侧特征与界面同速，间断只是无耗散平移。非凸通量可让同一对状态的弦跨越拐点，此时满足跳跃关系的单一激波可能被熵解拆成复合波。对含非保守乘积的系统， $A(U)U_x$ 在跳跃处没有天然分布意义，必须指定路径或正则化，不能直接写 $[F]$ 。

边界界面同样有通量账本。若激波到达计算域端点，之后的质量变化由给定边界数值通量与内部迹共同决定；继续沿整线公式外推会漏掉流出量。移动网格上还需使用相对通量 $f(u)-w u$ ，其中 $w$ 是网格面速度。

推论与应用

Rankine–Hugoniot 条件提供精确的激波速度基准。数值计算若在网格加密后把 Burgers 的 $3\to1$ 激波推进到 $x\approx2t$ ，才通过第一层守恒核验；位置收敛到别的速度通常意味着离散式不是真正的通量差、边界通量错误，或后处理追踪了错误波面。激波被涂抹数个网格并不自动改变其积分传播速度。

Riemann 求解器在候选左右波之间反复使用该条件，有限体积方法则依靠界面通量把同一平衡离散化。对系统，向量跳跃关系还可检验两状态是否能由单个激波连接；若各分量算出的 $s$ 不一致，就必须引入其他波或中间状态。最后仍需 Lax、熵不等式或模型特定 kinetic relation 选择可容许连接。

参考资料

Constantine M. Dafermos, Hyperbolic Conservation Laws in Continuum Physics, 4th ed., Springer, 2016, §§3.1–3.2.
Randall J. LeVeque, Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press, 2002, Chs. 11 and 13.
Eleuterio F. Toro, Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, 3rd ed., Springer, 2009, Ch. 2.

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