Rankine–Hugoniot 条件

移动激波像一扇扫过空间的门。门向右移动时，会把左右密度差 $u_R-u_L$ 所对应的量吞入或释放；与此同时，两侧通量以不同速率把量送到门边。只有 $s[u]=[f]$ 时，门本身不需要储存一个未建模的点质量，整个时空小盒子的账才能闭合。

通量图上，$s$ 是连接 $(u_L,f(u_L))$ 与 $(u_R,f(u_R))$ 的弦斜率，而 $f^{\prime }(u_L),f^{\prime }(u_R)$ 是端点切线斜率。弦斜率决定守恒速度，切线斜率决定特征相对激波是流入还是流出。前者由本条件负责，后者由熵条件负责；把二者混为一句“激波沿特征走”会给出错误速度。

对 Burgers 方程，取 $u_L=3,u_R=1$。通量值为 $f(3)=9/2$、$f(1)=1/2$，所以

直接代回可得

在时刻 $t=0.4$，从原点出发的跳跃位于 $x=0.8$。若把速度误写成左特征速度 $3$，残差为 $[f]-3[u]=-4+6=2$，分布方程会多出 $2{\delta }_{x=3t}$；图形看似仍是一条移动阶跃，却不守恒。

同样的代数也暴露可容许性边界。反向状态 $u_L=1,u_R=3$ 仍给 $s=2$，所以 Rankine–Hugoniot 条件接受该膨胀激波。然而左右特征速度为 $1$ 与 $3$，特征从界面向外离开；它应由熵条件排除。守恒跳跃关系不蕴含唯一性、稳定性或物理方向。

接触间断与普通激波也要区分。在线性通量 $f(u)=au$ 下，任意两状态都给 $s=a$，两侧特征与界面同速，间断只是无耗散平移。非凸通量可让同一对状态的弦跨越拐点，此时满足跳跃关系的单一激波可能被熵解拆成复合波。对含非保守乘积的系统，$A(U)U_x$ 在跳跃处没有天然分布意义，必须指定路径或正则化，不能直接写 $[F]$。

边界界面同样有通量账本。若激波到达计算域端点，之后的质量变化由给定边界数值通量与内部迹共同决定；继续沿整线公式外推会漏掉流出量。移动网格上还需使用相对通量 $f(u)-wu$，其中 $w$ 是网格面速度。

Rankine–Hugoniot 条件提供精确的激波速度基准。数值计算若在网格加密后把 Burgers 的 $3\to 1$ 激波推进到 $x\approx 2t$，才通过第一层守恒核验；位置收敛到别的速度通常意味着离散式不是真正的通量差、边界通量错误，或后处理追踪了错误波面。激波被涂抹数个网格并不自动改变其积分传播速度。

Riemann 求解器在候选左右波之间反复使用该条件，有限体积方法则依靠界面通量把同一平衡离散化。对系统，向量跳跃关系还可检验两状态是否能由单个激波连接；若各分量算出的 $s$ 不一致，就必须引入其他波或中间状态。最后仍需 Lax、熵不等式或模型特定 kinetic relation 选择可容许连接。