守恒律的熵解

微观可逆模型在形成宏观激波时丢失了未解析尺度的信息。熵不等式把这种丢失记录为只能向一个方向发生的耗散：平滑区等号成立，因为普通链式法则仍有效；激波处允许熵下降，却禁止激波把已混合的信息自发拆回两束特征。它像是在守恒账本之外增加一条时间箭头。

Kružkov 熵把解与每个常状态 $k$ 的距离都纳入控制。若两条解从不同初值出发，这些距离的积分不会增长，于是初值相同就不能在以后分叉。唯一性并非由“熵”一词的物理直觉保证，而来自对全部 $k$ 的分布不等式及由此导出的 doubling-of-variables 估计。

对 Burgers 通量 $f(u)=u^2/2$，取二次熵

跳跃 $u_L=2,u_R=0$ 的守恒速度为 $s=1$。于是

它通过这一熵检验；事实上对凸 Burgers 通量，它通过全部凸熵检验。反向跳跃 $u_L=0,u_R=2$ 仍有同样的 Rankine–Hugoniot 速度 $1$，但

所以膨胀激波被排除，留下从速度 $0$ 展开到 $2$ 的稀疏扇。该计算同时展示“守恒正确”与“熵方向错误”可以并存。

边界会改变积分熵预算。若计算域是 $[a,b]$，则总熵变化还包含 $q(u(a+,t))-q(u(b-,t))$；开放边界处熵可以随流入数据进入。观察到域内 $\int \eta$ 增长，不能在未扣除边界熵通量前直接判定内部违反熵条件。

非凸通量下，仅用“左态大于右态就是激波”会失败，波可能由凸包/凹包产生复合激波—稀疏结构。方程组中通常不存在覆盖所有状态的 Kružkov 族，Lax 激波条件也可能遗漏欠压缩激波；带毛细、色散或非经典黏性正则化的模型还需 kinetic relation。熵解概念必须与选定正则化和方程结构配对。

Kružkov 理论给出标量熵解的 $L^1$ 收缩、初值连续依赖和唯一性。它也为数值收敛提供目标：守恒一致格式的极限先由 Lax–Wendroff 定理识别为弱解；若格式还满足离散熵不等式或可证明收敛到黏性极限，才可进一步识别为熵解。稳定、一致、收敛与熵选择因此是四个不同断言。

单调守恒格式通常带有足够数值耗散，可生成离散熵不等式；高阶重构则可能在激波附近制造过冲并破坏它。限制器的作用不是证明任何高阶曲线都“更物理”，而是在光滑区恢复精度、在间断附近退化到受控的一阶更新。验证时应同时检查总量、离散熵残差、网格加密极限和边界熵通量。