守恒律的熵解 | Codeboy's Blog

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本页固定 $f\in C^1(\mathbb R)$ 与 $u_0\in L^\infty(\mathbb R)$ 。弱解只表达质量平衡；熵解还须满足附加的凸熵不等式。先取实值的 $C^2$ 凸函数 $\eta$ ，并令熵通量 $q$ 满足

q'(u)=\eta'(u)f'(u).

函数 $u\in L^\infty$ 称为熵解，如果它是弱解，并对允许的每个凸熵对 $(\eta,q)$ 在分布意义下满足

\partial_t\eta(u)+\partial_x q(u)\le0.

对非负测试函数 $\varphi\in C_c^1(\mathbb R\times(0,\infty))$ ，方向等价写成

\int_0^\infty\!\!\int_{\mathbb R} \left(\eta(u)\varphi_t+q(u)\varphi_x\right)\,\mathrm dx\,\mathrm dt\ge0.

符号方向不能随意反转：在周期边界或零熵通量边界下，它意味着总熵 $\int\eta(u)\,\mathrm dx$ 随时间不增。

对标量守恒律，Kružkov 熵族

\eta_k(u)=|u-k|, \qquad q_k(u)=\operatorname{sgn}(u-k)\bigl(f(u)-f(k)\bigr), \qquad k\in\mathbb R,

也可由光滑凸熵逼近得到，并足以刻画熵解。若两个有界初值的差属于 $L^1(\mathbb R)$ ，相应熵解满足 $\|u(t)-v(t)\|_1\le\|u_0-v_0\|_1$ ；一般有界初值则使用局部有限传播估计。初值还要以 $t\downarrow0$ 的局部 $L^1$ 迹达到；只在 $t>0$ 验证不等式不能替代初值条件。

对沿 $x=st$ 移动的跳跃，先由Rankine–Hugoniot 条件保证守恒，再由每个凸熵对要求

[q]-s[\eta]\le0,\qquad [g]=g_R-g_L.

第一项决定跳跃速度，第二项决定可接受方向；两项职责不可互换。

直觉

微观可逆模型在形成宏观激波时丢失了未解析尺度的信息。熵不等式把这种丢失记录为只能向一个方向发生的耗散：平滑区等号成立，因为普通链式法则仍有效；激波处允许熵下降，却禁止激波把已混合的信息自发拆回两束特征。它像是在守恒账本之外增加一条时间箭头。

Kružkov 熵把解与每个常状态 $k$ 的距离都纳入控制。若两条解从不同初值出发，这些距离的积分不会增长，于是初值相同就不能在以后分叉。唯一性并非由“熵”一词的物理直觉保证，而来自对全部 $k$ 的分布不等式及由此导出的 doubling-of-variables 估计。

例子与边界

对 Burgers 通量 $f(u)=u^2/2$ ，取二次熵

\eta(u)=\frac{u^2}{2},\qquad q(u)=\frac{u^3}{3}.

跳跃 $u_L=2,u_R=0$ 的守恒速度为 $s=1$ 。于是

[q]-s[\eta] =\left(0-\frac83\right)-1(0-2) =-\frac23\le0,

它通过这一熵检验；事实上对凸 Burgers 通量，它通过全部凸熵检验。反向跳跃 $u_L=0,u_R=2$ 仍有同样的 Rankine–Hugoniot 速度 $1$ ，但

[q]-s[\eta] =\frac83-2 =\frac23>0,

所以膨胀激波被排除，留下从速度 $0$ 展开到 $2$ 的稀疏扇。该计算同时展示“守恒正确”与“熵方向错误”可以并存。

边界会改变积分熵预算。若计算域是 $[a,b]$ ，则总熵变化还包含 $q(u(a+,t))-q(u(b-,t))$ ；开放边界处熵可以随流入数据进入。观察到域内 $\int\eta$ 增长，不能在未扣除边界熵通量前直接判定内部违反熵条件。

非凸通量下，仅用“左态大于右态就是激波”会失败，波可能由凸包/凹包产生复合激波—稀疏结构。方程组中通常不存在覆盖所有状态的 Kružkov 族，Lax 激波条件也可能遗漏欠压缩激波；带毛细、色散或非经典黏性正则化的模型还需 kinetic relation。熵解概念必须与选定正则化和方程结构配对。

推论与应用

Kružkov 理论给出标量熵解的 $L^1$ 收缩、初值连续依赖和唯一性。它也为数值收敛提供目标：守恒一致格式的极限先由 Lax–Wendroff 定理识别为弱解；若格式还满足离散熵不等式或可证明收敛到黏性极限，才可进一步识别为熵解。稳定、一致、收敛与熵选择因此是四个不同断言。

单调守恒格式通常带有足够数值耗散，可生成离散熵不等式；高阶重构则可能在激波附近制造过冲并破坏它。限制器的作用不是证明任何高阶曲线都“更物理”，而是在光滑区恢复精度、在间断附近退化到受控的一阶更新。验证时应同时检查总量、离散熵残差、网格加密极限和边界熵通量。

参考资料

S. N. Kružkov, “First Order Quasilinear Equations in Several Independent Variables,” Mathematics of the USSR-Sbornik 10(2), 1970, pp. 217–243.
Constantine M. Dafermos, Hyperbolic Conservation Laws in Continuum Physics, 4th ed., Springer, 2016, Chs. 4–6.
Randall J. LeVeque, Numerical Methods for Conservation Laws, 2nd ed., Birkhäuser, 1992, Chs. 3 and 12.
Alberto Bressan, Lecture Notes on Hyperbolic Conservation Laws, 2009，§2.3，印刷第12–14页：凸熵、Kružkov 族及跳跃熵不等式。

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