形式陈述

偏微分方程以多元未知函数 $u:\Omega\subseteq\mathbb R^n\to\mathbb R^m$$u:\mathrm{\Omega }\subseteq {\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ 及其偏导数为对象，一般写作

$$ F\bigl(x,u,Du,\ldots,D^ku\bigr)=0. $$$$F(x,u,Du,\dots ,D^{k}u)=0.$$

若最高阶导数线性出现，方程称拟线性；所有未知量及导数线性出现时称线性。二阶标量线性方程的主部由对称矩阵 $A(x)$$A(x)$ 决定：正定对应椭圆型；含时间方向的退化正定结构产生抛物型；具有一正其余负等不定符号时产生双曲型。具体分类需在给定点和坐标/主符号层面陈述。

直觉

PDE 同时约束多个方向上的局部变化。主部决定扰动如何传播：椭圆方程倾向全局平滑，抛物方程扩散，双曲方程沿有限速度传播波。

例子与边界

Laplace 方程 $\Delta u=0$$\mathrm{\Delta }u=0$ 椭圆，热方程 $u_t-\Delta u=0$$u_t-\mathrm{\Delta }u=0$ 抛物，波方程 $u_{tt}-\Delta u=0$$u_{tt}-\mathrm{\Delta }u=0$ 双曲。相同微分表达式配不同边界或初始条件会形成不同问题；没有数据时通常不唯一，数据过多又可能无解。经典解要求足够光滑并逐点满足方程，弱解只需积分恒等式。非线性一阶方程可出现激波，使经典解有限时失效而弱解仍存在。

推论与应用

PDE 建模连续介质、流体、电磁场、几何和概率密度演化；方程类型指导应采用的边界条件、能量估计、最大值原理和数值离散方法。

参考资料

• Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations, 2nd ed., American Mathematical Society, 2010，Ch. 1, representative PDE and classifications。
• Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, 2011，Chs. 8–9, weak formulations and PDE applications。