偏微分方程

PDE 的未知量不是有限维状态轨道，而是整个空间上的函数；每个时刻的状态本身已是无限维对象。最高阶导数构成的主部决定信息沿哪些方向传播、边界数据应放在哪里以及解会获得还是失去正则性。分类只反映局部主部，低阶项、区域几何和边界条件仍会显著改变解的存在、唯一与稳定性。

Laplace 方程 $\mathrm{\Delta }u=0$ 椭圆，热方程 $u_t-\mathrm{\Delta }u=0$ 抛物，波方程 $u_{tt}-\mathrm{\Delta }u=0$ 双曲。相同微分表达式配不同边界或初始条件会形成不同问题；没有数据时通常不唯一，数据过多又可能无解。经典解要求足够光滑并逐点满足方程，弱解只需积分恒等式。非线性一阶方程可出现激波，使经典解有限时失效而弱解仍存在。

热方程在整空间的解可写成初值与 Gaussian 核的卷积，任何正时间都会把粗糙初值平滑化；波方程却保留有限传播速度，远处扰动不能立即影响一点。Laplace 方程的最大值原则说明内部无源调和函数不能出现严格新极值。相同方程若给不相容的边界值，仍可能无解；“写下 PDE”并没有完整规定一个数学问题。

PDE 依赖多元微分公理库多元函数导数Derivative in several variables · Jacobian derivativeFréchet 导数在有限维 Euclidean 坐标中的 Jacobian、梯度与方向导数表示。描述局部变化，但弱解通常放在 Sobolev 空间，用弱导数公理库弱导数Weak derivative通过分部积分恒等式相对于测试函数定义的广义导数。绕过经典光滑性。能量估计借助Hölder 不等式公理库Hölder 不等式Hölder's inequality共轭指数下函数乘积的 L¹ 范数由各自的 Lᵖ 范数乘积控制。等积分工具，几何和边界条件则决定可用的紧性与谱结构。

数值层面，PDE 有限差分法公理库偏微分方程有限差分法Finite-difference method for PDE · Finite-difference PDE discretization · Difference stencil在整张网格上用差分 stencil 替换偏微分算子，并连同边界闭合组装为稀疏离散系统。在网格点离散微分算子；变分形式公理库变分形式与弱问题Variational formulation · Weak formulation通过检验函数与分部积分把强微分方程改写为低正则性空间中的连续弱问题，并明确边界条件与适定性。先把强方程改写为积分恒等式，Galerkin 方法公理库Galerkin 方法Galerkin method · Galerkin discretization在有限维试探与检验空间中离散连续变分问题，并用 Galerkin 正交、Céa 准最优性及稳定条件组织误差。再选择有限维试探与检验空间。具体 stencil、离散空间和求解流程由这些页面承担。

对常系数线性方程，Fourier 变换公理库Fourier 变换Fourier transform · 傅里叶变换把非周期函数分解为连续频率成分，并将卷积和平移不变算子转为频域乘法。把空间导数化为频率乘子，Plancherel 定理公理库Plancherel 定理Plancherel theoremFourier 变换从稠密子空间唯一延拓为 L² 上保持内积与范数的酉算子。再把频域估计无损搬回 $L^2$。连续介质、扩散、波动和几何流因此共享同一套函数空间语言。

流体与电磁场用 PDE 追踪空间中的守恒与传播，概率密度演化则把随机运动转写成确定性方程；这些模型选择的边界条件和守恒律与方程本身同样重要。