迎风格式 | Codeboy's Blog

形式陈述

对常系数平流守恒律

u_t+(au)_x=0,

信息沿速度 $a$ 传播。迎风数值通量为

\widehat f_{\mathrm{up}}(u_L,u_R) =a^+u_L+a^-u_R, \qquad a^+=\max(a,0),\quad a^-=\min(a,0).

若 $a>0$ ，均匀网格更新为

U_i^{n+1} =U_i^n-C(U_i^n-U_{i-1}^n) =(1-C)U_i^n+CU_{i-1}^n, \qquad C=\frac{a\Delta t}{\Delta x}.

若 $a<0$ ，则

U_i^{n+1} =U_i^n-C(U_{i+1}^n-U_i^n) =(1+C)U_i^n-CU_{i+1}^n.

在 $|C|\le1$ 时，两种情形都是当前值与上游邻值的凸组合，因而保持最大值界、正性和总变差不增。方向取错会把下游数据当成输入，即使差分阶看似仍为一阶，也会把耗散变成反耗散。

线性 Riemann 问题的界面状态在 $a>0$ 时是左态，在 $a<0$ 时是右态，所以迎风格式是Godunov 格式在线性单速守恒律上的严格特例。对非线性标量通量，不能只看某个全局固定符号；若波扇跨越速度零，界面状态需由完整 Riemann 解或通量分裂决定。

对光滑解作修改方程展开，主导人工黏性为

u_t+a u_x =\frac{|a|\Delta x}{2}(1-|C|)u_{xx} +O(\Delta x^2)

（沿固定 $C$ 的细化族）。当 $|C|=1$ 时，网格数据每步恰平移一格，主导耗散消失；一般 $0<|C|<1$ 时高频会被衰减。

直觉

要预测一个网格点的未来，只应查看连续特征在上一时刻从哪里到达。风向向右时，信息来自左邻；风向向左时，信息来自右邻。迎风不是“总用后向差分”的同义词，而是先判断传播方向，再选择空间偏置。

凸组合也有概率图像：当 $0<C<1$ 时，连续特征脚落在当前点与一个上游点之间，一阶格式用两端值线性混合。混合保证不制造新极值，却把未对齐网格的平移变成扩散。Courant 数恰为一时，特征脚落在上游节点，离散平移无需插值，因此不耗散。

这也解释了边界数据为何只应放在上游入口：下游状态不会沿特征逆风返回计算域。

例子与边界

取 $a=-2$ 、 $\Delta x=1$ 、 $\Delta t=0.25$ ，故 $C=-0.5$ 。周期网格数据为

(U_1^n,U_2^n,U_3^n)=(1,3,2).

因为速度为负，每个单元使用右邻：

U_i^{n+1}=U_i^n+0.5(U_{i+1}^n-U_i^n).

逐项算得

U_1^{n+1}=1+0.5(3-1)=2,

U_2^{n+1}=3+0.5(2-3)=2.5,\qquad U_3^{n+1}=2+0.5(1-2)=1.5.

总和仍为 $6$ ，新值全在旧极值区间 $[1,3]$ 内。若错误地对 $a<0$ 仍用左邻，则更新系数会含一个负权重，不能给出上述最大值保证。

当 $|C|>1$ 时，连续特征一时间步跨越超过一个网格间隔，而该两点 stencil 仍只访问最近上游点；凸组合系数随即变负。这说明稳定限制与数值依赖域相连。 $|C|\le1$ 对这一线性显式格式给出稳定性，但对任意中心格式并非充分条件。

变系数 $u_t+(a(x)u)_x=0$ 中，守恒形式还包含空间变化带来的压缩或膨胀，界面速度需一致定义；方程组则按特征分解分别迎风，矩阵若不可对角化或边界特征数处理错误，简单逐分量偏置会失败。高阶迎风重构若不加限制器，也可能在间断旁产生 Gibbs 型过冲。

推论与应用

迎风格式提供最短的传播方向测试。给定正负速度各一组数据，手算一步即可验证通量参数顺序、周期邻居和边界流入索引。Fourier 放大因子

G(\theta)=1-C+Ce^{-i\theta}\quad(a>0)

满足 $|G|^2=1-4C(1-C)\sin^2(\theta/2)$ ，精确展示 CFL 内耗散与 CFL 外放大。

在多维有限体积法中，迎风判断沿每个面的法向速度进行；一个全局速度符号不能替代各面 $a\cdot n$ 。MUSCL、WENO 等方法通常仍保留迎风通量，只提升界面左右迹。若目标只是可靠基线，一阶迎风已经覆盖守恒、方向和稳定；只有测得平滑区扩散不可接受时才需要高阶重构。

参考资料

Randall J. LeVeque, Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations, SIAM, 2007, Ch. 10.
Randall J. LeVeque, Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press, 2002, Chs. 4 and 10.
John C. Strikwerda, Finite Difference Schemes and Partial Differential Equations, 2nd ed., SIAM, 2004, Ch. 2.