有限体积法

形式陈述 ​

在一维网格公理库网格与网格剖分Grid and mesh discretization · Structured grid · Unstructured mesh用节点、单元及其几何映射离散计算区域，并以局部尺度、形状正则性和边界拟合质量描述一族网格。上取控制体

$$I_i=[x_{i-1/2},x_{i+1/2}],\mathrm{\Delta }{x}_i=x_{i+1/2}-x_{i-1/2},$$

并以单元平均

$${\overline{u}}_i(t)=\frac{1}{\mathrm{\Delta }{x}_i}{\int }_{I_i}u(x,t)\mathrm{d}x$$

作为未知量。把标量守恒律公理库标量守恒律Scalar conservation law · Scalar hyperbolic conservation law · 一维标量守恒方程以通量散度为零表达标量密度的局部守恒，并用特征速度、激波和稀疏波刻画非线性传播。在 $I_i$ 上积分，得到精确平衡

$$\frac{\mathrm{d}{\overline{u}}_i}{\mathrm{d}t}=-\frac{1}{\mathrm{\Delta }{x}_i}(f(u(x_{i+1/2},t))-f(u(x_{i-1/2},t))).$$

有限体积法以数值通量公理库数值通量Numerical flux · Conservative interface flux · 数值界面通量以左右离散状态给出共享界面通量，并用一致性、单调性与耗散量区分不同守恒格式。 ${\hat{f}}_{i+1/2}$ 近似时间平均的真实界面通量。前向 Euler 全离散更新为

$$U_i^{n+1}=U_i^n-\frac{\mathrm{\Delta }t}{\mathrm{\Delta }{x}_i}({\hat{f}}_{i+1/2}^n-{\hat{f}}_{i-1/2}^n).$$

公共界面必须只计算一次，并以相反符号写入左右单元。于是任意相邻单元集合求和时内部通量严格抵消，只剩外边界净通量。非均匀网格上守恒的是 $\sum _i\mathrm{\Delta }{x}_i{U}_i$，不能只求未加权平均。

一阶方法把每个单元视为分片常数，以相邻平均 $(U_i,U_{i+1})$ 生成界面通量。高阶方法先在单元内重构左右迹，再做时间积分；重构改变界面状态，却不能改变“一个共享通量、两个相反符号”的守恒接口。边界面则需由内部状态与物理边界数据组成边界通量，周期配对、流入和流出不能混用同一 ghost 值规则。

Godunov 格式公理库Godunov 格式Godunov scheme · First-order Godunov method · Godunov 有限体积格式以相邻分片常状态的精确 Riemann 解计算界面通量，再平均回网格得到一阶守恒更新。用精确 Riemann 解给通量，Lax–Friedrichs 格式公理库Lax–Friedrichs 格式Lax-Friedrichs scheme · Lax-Friedrichs method · Lax–Friedrichs 通量格式以邻点平均替换中心值并加入与网格比相关的人工黏性，形成显式一阶守恒格式。显式加入耗散，迎风格式公理库迎风格式Upwind scheme · First-order upwind method · 迎风差分格式按特征传播方向选择上游状态构造线性平流通量，并在 Courant 限制内形成单调一阶更新。在线性平流时按速度符号选择上游状态；它们都是本方法的具体一阶实现，而非“有限体积”三个别名。

直觉

有限体积法把每个网格单元当作一个带左右阀门的容器。算法不试图在激波处近似点导数，而是记录本步有多少量穿过每扇阀门。相邻容器共用同一扇门，因此离开左容器的量必然等量进入右容器；这种账本结构对不光滑解仍有意义。

单元平均不是中心点值。光滑区二者相差高阶小量，但激波穿过单元时，平均值精确表示单元中两态所占比例，中心点值则会突然跳变。重构可以利用邻居平均估计单元内分布，却必须保持重构的单元平均不变，否则高阶步骤会在计算通量之前已经制造或销毁总量。

例子与边界

考虑 $u_t+(2u{)}_x=0$，均匀网格取 $\mathrm{\Delta }x=1,\mathrm{\Delta }t=0.2$，速度正，所以界面迎风通量为 ${\hat{f}}_{i+1/2}=2U_i$。三个单元初值为

$$(U_1^n,U_2^n,U_3^n)=(1,3,2),$$

左流入 ghost 状态为 $0$，右端流出。四个面通量依次为

$$({\hat{f}}_{1/2},{\hat{f}}_{3/2},{\hat{f}}_{5/2},{\hat{f}}_{7/2})=(0,2,6,4).$$

逐单元更新给

$$U_1^{n+1}=1-0.2(2-0)=0.6,$$$$U_2^{n+1}=3-0.2(6-2)=2.2,U_3^{n+1}=2-0.2(4-6)=2.4.$$

旧总量为 $6$，新总量为 $5.2$；差值 $-0.8$ 恰等于

$$-\mathrm{\Delta }t({\hat{f}}_{7/2}-{\hat{f}}_{1/2})=-0.2(4-0).$$

内部通量 $2$ 与 $6$ 完全消去，质量下降来自右边界流出而非数值泄漏。

守恒不等于稳定、一致或收敛。任取一个共享但不一致的通量也会让总量抵消，却可能逼近错误 PDE；时间步过大时，一个一致通量仍可放大振荡；即使网格解收敛，Lax–Wendroff 定理也只先识别弱解，熵选择还需额外耗散或离散熵不等式。

多维非结构网格将更新写成各面法向通量之和，面面积、单元体积和法向方向必须配套。相邻单元若各自以略有差异的几何法向重复计算同一面，会失去严格抵消。极小 cut cell 还会把体积放在分母中，造成比全局网格尺度更严的时间步限制。

推论与应用

离散守恒使激波传播速度能够在弱极限中继承连续跳跃平衡，这是有限体积法处理双曲守恒律的核心优势。配合 Riemann 通量、单调性或熵稳定性可得到可靠一阶格式；配合 MUSCL、限制器和高阶时间推进，可在光滑区提升精度而在间断附近回退。

实现核验应逐步报告每个边界通量、加权总量差与理论净流出，并在周期网格检查总量只差浮点舍入。此检查只能证明通量装配守恒，不能替代精度实验、CFL 稳定分析或熵残差评估。局部自适应和并行分区也必须让共享面拥有单一权威通量，否则通信误差会直接表现为全局质量漂移。

参考资料

• Randall J. LeVeque, Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press, 2002, Chs. 4 and 12.
• Eleuterio F. Toro, Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, 3rd ed., Springer, 2009, Chs. 5–6.
• E. Godlewski and P.-A. Raviart, Numerical Approximation of Hyperbolic Systems of Conservation Laws, Springer, 1996, Ch. 3.