单调守恒格式

形式陈述 ​

以下先取均匀周期网格、实值数据和固定的平移不变更新，且 $\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }t>0$，记 $\lambda =\mathrm{\Delta }t/\mathrm{\Delta }x$。标量显式格式写成

若 $H$ 对每个分量都单调不减，称该更新单调。守恒格式还必须能写成共享数值通量理路数值通量Numerical flux · Conservative interface flux · 数值界面通量以左右离散状态给出共享界面通量，并用一致性、单调性与耗散量区分不同守恒格式。之差：

本页的“单调守恒格式”同时要求这两项，因此是显式有限体积更新理路有限体积法Finite volume method · Finite-volume discretization · 控制体积法对每个控制体积分守恒律，以共享界面通量更新单元平均，从离散结构上保证内部通量抵消。的一类。只保持总量而对输入不单调，或只作凸组合而不能写成一致通量差，都不属于这一交集。

若两点通量可微，一个常用充分检查是

再由时间步保证更新对中心状态的偏导也非负。以 Rusanov 通量

为例，在整个相关状态区间上固定一个 $\alpha \ge max|f^{\prime }|$，且令 $\lambda \alpha \le 1$，便得到更新的各偏导非负。这里的CFL 界理路CFL 条件Courant-Friedrichs-Lewy condition · CFL condition · 数值依赖域条件要求连续方程的依赖域包含于离散格式的依赖域，并把最大波速、网格尺度与显式时间步联系起来。保证这一固定耗散参数的 Rusanov 更新单调；若 $\alpha$ 本身随输入状态变化，求导还会产生额外项，须重新检查。

单调性推出离散比较原则：若 $U^n\le V^n$ 逐点成立，则 $U^{n+1}\le V^{n+1}$。结合常状态保持，可得最大值界；结合守恒可直接证明离散 $L^1$ 非扩张。令 $W=max(U,V)$、$Z=min(U,V)$，单调性给出 $S(W)\ge max(SU,SV)$、$S(Z)\le min(SU,SV)$，所以周期求和后

取 $V$ 为 $U$ 的一个网格平移，并用 $S$ 与平移交换，便得到TVD理路总变差递减格式Total variation diminishing scheme · TVD scheme · 总变差不增格式以每步离散总变差不增长为振荡控制准则，并说明它与单调性、高阶精度和熵稳定性的边界。。整线版本还需相应的可求和条件，以便合法地通过无限求和。对一致标量格式，这些估计提供紧性和熵收敛路径。