Lax–Friedrichs 格式 | Codeboy's Blog

形式陈述

在 $\Delta x,\Delta t>0$ 的均匀网格上，Lax–Friedrichs 格式对守恒律 $u_t+f(u)_x=0$ 写成

U_i^{n+1} =\frac12\left(U_{i-1}^n+U_{i+1}^n\right) -\frac{\lambda}{2} \left(f(U_{i+1}^n)-f(U_{i-1}^n)\right), \qquad \lambda=\frac{\Delta t}{\Delta x}.

它可严格改写为通量差更新

U_i^{n+1}=U_i^n-\lambda \left(\widehat f_{\mathrm{LF}}(U_i^n,U_{i+1}^n) -\widehat f_{\mathrm{LF}}(U_{i-1}^n,U_i^n)\right),

其中数值通量

\widehat f_{\mathrm{LF}}(u_L,u_R) =\frac{f(u_L)+f(u_R)}2 -\frac{1}{2\lambda}(u_R-u_L).

耗散速度 $\alpha=1/\lambda=\Delta x/\Delta t$ 由全局网格比固定。更常用的局部 Lax–Friedrichs/Rusanov 通量把它替换为局部波速上界 $\alpha_{i+1/2}$ ；两者结构相同，但不是参数永远相等的同一公式。

若标量通量在相关状态区间满足

\lambda\max_u|f'(u)|\le1,

则更新对各输入单调，并属于单调守恒格式。条件同时保证人工黏性足以覆盖物理信号速度。对足够光滑的精确解，把格式残差除以 $\Delta t$ 后，其主项为

\frac{\Delta t}{2}u_{tt} -\frac{\Delta x^2}{2\Delta t}u_{xx} +\frac{\Delta x^2}{6}\partial_x^3f(u),

余项为 $O(\Delta t^2+\Delta x^4/\Delta t+\Delta x^4)$ 。因此一般一致性还要求 $\Delta x^2/\Delta t\to0$ ；沿固定正比值 $\Delta t/\Delta x$ 细化时是一阶。CFL 上界本身并不保证这个下尺度条件。例如零通量 $f=0$ 时原方程是 $u_t=0$ ，若取 $\Delta t=\Delta x^2$ ，格式却成为每步对左右邻值取平均，光滑测试函数留下主缺陷 $-u_{xx}/2$ ，逼近的是带人工扩散的演化。

它与Godunov 格式都使用共享守恒通量，但前者不解析局部波型，只用中心通量和统一耗散包住全部波；后者从精确 Riemann 解选择界面状态。Lax–Friedrichs 更便宜、鲁棒，通常也更模糊。

直觉

左右邻值进入平均项和通量差项并共同形成下一时层单元值 — Lax–Friedrichs 的混合与输运

中心差分本身不知道信息从哪一侧到来，容易让网格尺度振荡无阻尼传播。Lax–Friedrichs 先把中心值替换为左右邻点平均，相当于每步主动混合相邻单元，再叠加中心通量差推进波。平均操作就是可见的数值黏性。

这种黏性是稳定代价而非物理扩散。时间步越小而空间步长不变，原始通量中的 $1/\lambda$ 反而越大，每一步混合虽频繁且强；因此“减小 $\Delta t$ 总会更精确”对该网格公式不能脱离共同细化路径理解。局部 Rusanov 以实际波速上界调节耗散，通常比全局最大值更少涂抹慢波。

例子与边界

考虑周期网格上的线性平流 $u_t+u_x=0$ ，取

(U_1^n,U_2^n,U_3^n)=(1,2,4), \qquad \lambda=0.5.

此时 $1/(2\lambda)=1$ ，三个定向界面通量为

\widehat f(1,2)=\frac{1+2}{2}-(2-1)=0.5,

\widehat f(2,4)=3-(4-2)=1, \qquad \widehat f(4,1)=2.5-(1-4)=5.5.

按周期顺序更新：

U_1^{n+1}=1-0.5(0.5-5.5)=3.5,

U_2^{n+1}=2-0.5(1-0.5)=1.75, \qquad U_3^{n+1}=4-0.5(5.5-1)=1.75.

新旧总和均为 $7$ ，但峰值 $4$ 已被混合，数值耗散清晰可见。Courant 数为 $0.5$ ，满足 $|a|\lambda\le1$ 。

若 $\lambda|a|>1$ ，线性更新的某些系数变负，最大值控制与单调性消失；守恒仍成立，却不能阻止振荡增长。反之，CFL 内单调也只给一阶精度，不会使接触间断锐利。对系统使用 Rusanov 通量时， $\alpha$ 必须覆盖 Jacobian 的谱半径；低估最大特征速度可能产生不稳定，极度高估则产生不必要的扩散。

边界实现不可直接套周期索引。流入边界外态参与第一个通量，流出端通常由内部特征决定；若两端都复制内部值，可能改变预定入流。非均匀网格上原始全局公式的左右平均不再天然对应同一守恒体积，宜从带面通量和单元体积的形式重新推导。

推论与应用

Lax–Friedrichs 格式是检验守恒代码的基线：公式短、通量明确，三单元周期算例可以同时抓出界面方向、周期闭合和 $\lambda$ 因子错误。它也常作为复杂 Riemann 求解器失败时的鲁棒通量，或在高阶方法中提供局部耗散骨架。

数值实验应分开报告总量误差、稳定范围与分辨率。总量保持说明通量装配正确；无过冲通常来自 CFL 下的单调性；激波宽度则由耗散控制。若需要更锐利的接触或材料界面，应在波速估计可靠后选择保留更多波结构的通量，而不是仅把 $\alpha$ 调小到稳定边界之外。

参考资料

Peter D. Lax, “Weak Solutions of Nonlinear Hyperbolic Equations and Their Numerical Computation,” Communications on Pure and Applied Mathematics 7(1), 1954, pp. 159–193.
Randall J. LeVeque, Numerical Methods for Conservation Laws, 2nd ed., Birkhäuser, 1992, Ch. 12.
E. Godlewski and P.-A. Raviart, Numerical Approximation of Hyperbolic Systems of Conservation Laws, Springer, 1996, §3.2.
Randall J. LeVeque, AMath 574 lecture notes, January 24, 2011, PDF 第1页：原始 Lax–Friedrichs 的人工黏性与固定网格比；本文另用零通量算例核对不满足共同细化条件的边界。

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