形式陈述

实数系是一个完备有序域 $(\mathbb R,+,\cdot,\le)$$(\mathbb{R},+,\cdot ,\le )$。除域公理与全序公理外，序与运算相容：

$$ a\le b\Rightarrow a+c\le b+c, \qquad 0\le a,\ 0\le b\Rightarrow0\le ab. $$$$a\le b\Rightarrow a+c\le b+c,0\le a,0\le b\Rightarrow 0\le ab.$$

完备性要求每个非空且有上界的子集都有实数上确界。任意两个满足这些公理的系统在保序域同构意义下相同。

直觉

域公理允许四则运算，次序公理允许比较大小，完备性填补有理数轴中的全部“缺口”。三者共同构成实分析所需的连续数轴。

例子与边界

$\mathbb Q$$\mathbb{Q}$ 是有序域，却不完备：集合 $\{q\in\mathbb Q:q^2<2\}$$\{q\in \mathbb{Q}:q^2<2\}$ 没有有理数上确界。$\mathbb C$$\mathbb{C}$ 是域，却不能带有与域运算相容的全序，因为有序域中的平方非负，而 $i^2=-1$$i^2=-1$。完备不等于代数闭；$x^2+1$$x^2+1$ 在 $\mathbb R$$\mathbb{R}$ 中仍无根。

推论与应用

上确界性质可推出单调有界序列收敛、区间套、Bolzano–Weierstrass 定理和介值定理。实数系由此成为极限、连续性、微积分和概率论的标准标量模型。

参考资料

• Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2nd ed., Springer, 2015, Chapter 1.
• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1976, Chapter 1.