实数系

有理数已能进行四则运算，也能把数轴上的点逼近得任意细，但它们仍留下缺口。关键区别是“附近处处有数”和“每个被逼近的位置也在数系内”：前者是稠密，后者涉及完备性。

例如不断把 $\sqrt{2}$ 夹在更短的有理区间里，各次区间端点都是有理数；若只允许有理数，整个逼近过程没有一个可以落下来的极限点。实数补上这些位置，同时保留原有的次序和运算。补入的不是为了凑齐某一个方程的根，而是为了让所有受上确界性质控制的逼近都有着落。

也不是把所有“想要的数”都加进来就得到更好的实数系。复数让 $x^2+1=0$ 有根，却不能再配上与域运算相容的全序：有序域中非零数的平方为正，因而既须 $1>0$，又会由 $i^2=-1$ 得到 $-1>0$，矛盾。实数所同时保留的是四则运算、线性次序与完备性。

有理数的缺口具体在哪里 ​

在 $\mathbb{Q}$ 中取

它非空，且以 $2$ 为上界。假设它在 $\mathbb{Q}$ 中有上确界 $s$。因为 $1\in S$，有 $s\ge 1$；而有理数的平方不等于 $2$：若既约分数 $p/q$ 满足 $p^2=2q^2$，则 $p$ 为偶数，代回后 $q$ 也为偶数，与既约矛盾。故只能分两种情况。

若 $s^2<2$，选取正有理数 $0<h<min\{1,(2-s^2)/(2s+1)\}$，便有

于是 $s+h\in S$ 却大于上界 $s$。若 $s^2>2$，选取正有理数 $0<h<min\{s,(s^2-2)/(2s)\}$，便有 $(s-h{)}^2>2$；此时所有 $q\in S$ 都小于 $s-h$，所以 $s-h$ 是更小的上界。两种情况都矛盾。

在实数中改取 $T=\{x\in \mathbb{R}:x\ge 0,x^2<2\}$，完备性保证 $s=supT$ 存在。此时扰动 $s\pm h$ 仍是允许的实数，同样的两种矛盾迫使 $s^2=2$。这样得到的正数就是 $\sqrt{2}$。论证由此展示了完备性如何保证方程有根，而不把“补上缺口”停留在图像上。

有上确界，不等于有最大值 ​

集合 $(0,1)$ 的上确界是 $1$，但其中没有最大值：任取 $x<1$，$(x+1)/2$ 都是更大的成员。完备性保证的是最紧的上界存在，不保证它属于原集合。

条件中的“非空”和“有上界”也不能删。$\mathbb{R}$ 自身没有实数上界；空集的每个实数都是上界，却没有最小的实数。因此本页的上确界公理既不把 $+\mathrm{\infty }$ 添成实数，也不替这些集合指定一个虚构的实上确界。

无限小数是表示，不是额外的近似对象 ​

一个收敛的无限小数表示其有限截断的极限。比如 $0.999\dots$ 的第 $n$ 个截断为 $1-{10}^{-n}$，所以它表示的实数就是 $1$。有限截断小于 $1$，不妨碍截断序列的极限等于 $1$；不能在它们之间再设想一个固定的正差值。

因此小数表示并非总唯一，终止小数与末尾全为 $9$ 的表示可以指向同一实数。计算机保存的有限位近似又是另一层表示：数学上一个数已经确定，并不表示机器必须或能够把其所有数字逐个存出来。实数也不要求都有一个可计算其任意精度近似的算法。

浮点数是一种表示，不是另一个实数模型 ​

固定精度浮点数只表示有限多个值，运算还要舍入。例如在常见舍入规则下，足够大的数加上一个小数可能保持不变；连续进行加法也不再普遍满足实数加法的结合律。这是有限表示的运算规则，不能被当作完备有序域公理的另一个实现。

精确的实数定义仍然有用：它规定算法试图逼近的对象；数值分析再研究有限表示和近似计算与这个对象之间相差多少。

为什么不存在“比所有自然数都大”的实数 ​

利用最小上界性质理路实数完备性Completeness of the real numbers · Least-upper-bound property定义非空有界集合具有最小上界的完备性质，并说明它如何刻画实数的序与极限结构。可以推出 Archimedean 性质。若自然数在 $\mathbb{R}$ 中有上界，令 $s=sup\mathbb{N}$。$s-1$ 不是上界，所以存在自然数 $n>s-1$；于是自然数 $n+1>s$，与 $s$ 为上界矛盾。

因此，对任意实数 $x$，都有自然数 $n>x$。等价地，对任意 $\epsilon >0$，可以找到 $n$ 使 $0<1/n<\epsilon$。这解释了为什么用自然数控制精度不会卡在某个不可突破的正尺度上；非 Archimedean 有序域不具有这种性质。

从完备性到极限 ​

若实序列 $(a_n)$ 单调递增且有上界，令 $s=sup\{a_n:n\ge 0\}$。给定 $\epsilon >0$，$s-\epsilon$ 不是上界，故有 $a_N>s-\epsilon$。由单调性，对所有 $n\ge N$，

所以 $a_n\to s$。这里每一步分别使用了最小上界、单调性与极限定义。抽象的公理由此变成了可以直接使用的收敛工具。

介值定理理路介值定理Intermediate value theorem连续函数在实区间上不能跳过中间高度；由完备性证明存在性，并厘清二分法、唯一性和不动点迭代。继续把这种“没有缺口”传递给连续实值函数：函数不能从某个值的一侧跨到另一侧而漏过中间值。实数构造负责说明这个数系存在，完备性负责支撑这些极限和存在性结论，二者承担不同的证明任务。

两条构造路线给出同一数系 ​

Dedekind 分割用有理数中的下侧部分标记一个切口，再定义加法、乘法和顺序；Cauchy 序列构造则把有理数的 Cauchy 序列作为逼近记录，把差趋于零的记录识别为同一个对象。后者的一个实数是等价类，不是某条特定序列，否则两条逼近同一极限的序列会被误当成不同数。

两条路线都要证明所得结构满足完备有序域公理。一旦证明完成，后续的极限、介值定理理路介值定理Intermediate value theorem连续函数在实区间上不能跳过中间高度；由完备性证明存在性，并厘清二分法、唯一性和不动点迭代。和连续函数取极值等理论便依赖共同的结构，而不依赖实数在底层被编码成切口还是序列类。采用公理化讲法时，完备性是起点；采用显式构造时，它是必须证明的性质。