实数系

实数同时承担代数、次序与极限三种角色：域结构处理运算，全序解释正负和区间，完备性保证逼近闭合。只保留其中任意两部分都会失去分析所需的某些结论。实数的这种刻画在同构意义下唯一，所以不同构造——Dedekind 分割或 Cauchy 完备化——最终得到同一有序域。

$\mathbb{Q}$ 是有序域，却不完备：集合 $\{q\in \mathbb{Q}:q^2<2\}$ 没有有理数上确界。$\mathbb{C}$ 是域，却不能带有与域运算相容的全序，因为有序域中的平方非负，而 $i^2=-1$。完备不等于代数闭；$x^2+1$ 在 $\mathbb{R}$ 中仍无根。

有理数可以任意精细地逼近 $\sqrt{2}$，却没有元素填入对应缺口；复数补足多项式根，却失去相容全序。有限域有完美的四则运算，但不存在与通常大小直觉相容的线性次序和 Archimedean 连续轴。实数也不是“所有数”的终点：它不代数闭，且可继续构造复数、超实数等扩张。

域公理库域Field非零元素在乘法下均可逆的交换环。与全序公理库全序Total order · Linear order任意两个元素都可比较的偏序。给出有序代数，完备性公理库实数完备性Completeness of the real numbers · Least-upper-bound property实数作为完备有序域没有有理数式的序与极限缺口。排除有理数式的缺口。由此可推出 Archimedean 性质：对任意实数 $x$，存在自然数 $n>x$；也可推出单调有界序列收敛、区间套与 Bolzano–Weierstrass 定理。这些是完备性的后果，不应反过来与定义并列成额外公理。

Dedekind 分割与 Cauchy 完备化提供两种具体构造：前者填补有序域的切割，后者补入有理 Cauchy 序列缺失的极限。它们得到的系统在保序域同构意义下相同，所以构造方式不是实数结构的一部分。

分析、概率和学习都大量使用实值对象，但相应的极限、概率量词或样本语义来自各自模型，不是实数公理的一部分。机器采用的浮点数系统公理库浮点数系统与 IEEE 754Floating-point system · IEEE 754以有限尾数和指数表示机器数，并说明 IEEE 754 的特殊值、格式与运算语义。也只有有限个可表示值，并在运算后舍入；它是实数计算的近似表示，不是另一个完备有序域。