“在实数的全序中，最小上界性质断言：若非空子集 $S\subseteq\mathbb R$ 有上界，则存在 $\sup S\in\mathbb R$，满足 $$ \forall s\in S,…”
形式陈述
偏序
结合偏序的反对称性，这意味着对任意
三种情形之一成立，其中
反过来，若严格关系
得到全序。严格与非严格形式携带相同信息，但证明中不能混用它们的公理。
全序不自动是良序。良序还要求每个非空子集都有最小元；全序也不保证存在全局最小元、最大元、相邻元素或离散步长。
直觉
偏序允许分支和不可比性，全序把所有元素排进一条可比较链。这个“排成一条线”只说任意两点能比较，不说明这条线像整数一样离散或像有限数组一样有端点。
给偏序选择一个线性扩张会补上原来不可比元素之间的方向。新增比较服务于排序或调度，却不是原偏序已经蕴含的事实。
例子与边界
整数、实数的通常大小关系都是全序。实数全序但不是良序，例如正数集合没有通常顺序下的最小元。整数没有全局最小元，却仍是全序。
集合族上的包含通常只是偏序：
也允许不可比点；字典序先比较第一坐标，再比较第二坐标，则给出全序。
字符串字典序需要先固定字母表全序和前缀规则。浮点实现中的 NaN 会破坏普通三歧性，因此编程语言的比较接口未必直接实现数学全序；需要 totalOrder 等专门约定。
推论与应用
偏序加入全可比性得到全序，良序再加入每个非空子集有最小元。比较排序、二分查找、平衡搜索树和有序映射通常需要某种全序或严格弱序合同。
拓扑排序为有限 DAG 的依赖偏序选择一个线性扩张。不同扩张可以给出不同合法执行次序，所以“存在全序化”不等于依赖本身已经是全序。
参考资料
- Paul R. Halmos, Naive Set Theory, Dover, 2017, §14.
- B. A. Davey and H. A. Priestley, Introduction to Lattices and Order, 2nd ed., Cambridge University Press, 2002, Chapter 1.
- Daniel J. Velleman, How to Prove It, 3rd ed., Cambridge University Press, 2019, Chapter 8.