仿射超平面与半空间

形式陈述 ​

设 $A$ 是有限维实仿射空间公理库仿射空间Affine space忘去原点但保留向量平移作用和仿射组合的空间。，其平移空间为 $V$。取非零线性泛函公理库线性映射Linear map · Linear transformation保持向量加法和标量乘法的函数。 $a:V\to \mathbb{R}$。选定任一点作临时原点后，仿射函数可写成 $x\mapsto a(x)-b$；换原点只会改变常数 $b$，不会改变下面的几何对象。相应的仿射超平面与两个闭半空间定义为

$$H=\{x\in A:a(x)=b\},H^{-}=\{x\in A:a(x)\le b\},H^{+}=\{x\in A:a(x)\ge b\}.$$

$H$ 是余维一的仿射子空间，其平移空间为 $\ker a$。把弱不等号改成严格不等号得到两个开半空间。若 $V$ 还选有内积，Riesz 表示可把 $a$ 写成 $a(x)=⟨n,x⟩$，其中 $n$ 是法向量；本质对象仍是泛函 $a$，因为一般仿射空间并不自带内积。

直觉 ​

超平面是空间中一条“平直的分界面”，半空间是分界面的一侧。线性泛函把每个点压缩成一个实数：等于阈值 $b$ 的点落在边界，小于和大于阈值的点分居两侧。这个描述比“垂直于某个向量”更基本，因为垂直需要内积，而求一个线性量是否超过阈值只需要仿射结构与实数公理库实数系Real number system · Ordered complete field满足序域公理与上确界完备性的数系。次序。

缩放 $(a,b)$ 不改变几何对象：若 $\lambda >0$，$(\lambda a,\lambda b)$ 给出同一对半空间；若 $\lambda <0$，两个方向的标签互换。因此法向量与方程都不是唯一数据，真正稳定的是边界及其选定的一侧。

例子与边界 ​

在 ${\mathbb{R}}^2$ 中，方程 $2x-y=3$ 给一条不经过原点的直线；$2x-y\le 3$ 是包含原点的一侧，$2x-y\ge 3$ 是另一侧。在 ${\mathbb{R}}^3$ 中，$x+y+z=1$ 是二维仿射平面。它们都是凸集公理库凸集Convex set任意两点间线段全部包含在集合中的向量空间子集。：两个满足同一线性不等式的点之间，整条线段仍满足该不等式。

条件 $a\ne 0$ 不能省略。若 $a=0$，等值集在 $b=0$ 时是整个空间，在 $b\ne 0$ 时为空，两者都不是余维一超平面。超平面也不必经过原点；只有 $b=0$ 且已选定的原点属于 $A$ 时，它才同时是线性子空间。所谓“法向量唯一”也只能理解为非零比例意义下唯一，并且需要先选内积。

严格半空间是开集，闭半空间包含边界；算法或定理若在二者之间切换，必须同步改变边界点的归属。无限维拓扑向量空间中还要要求泛函连续，才能保证核与半空间具有预期拓扑性质，本页不把有限维结论无条件外推到该情形。

推论与应用 ​

有限个闭半空间的交给出多面体公理库多面体与多胞形Polyhedron · Polytope分别由有限线性不等式交与有限点凸包描述，并由 Minkowski–Weyl 定理连接的凸几何对象。，说明线性不等式系统就是一种几何描述。线性规划公理库线性规划Linear programming · LP在线性等式和不等式约束下优化线性目标函数的问题。研究目标泛函在这类可行域上的极值；计算几何公理库计算几何问题Computational geometry problem以点、线段、多边形等几何对象为输入并要求组合或数值几何输出的问题族。则用超平面安排、点的位置测试和半空间交组织空间。分离与支撑超平面定理进一步说明，许多凸集可以由线性泛函“看见”：外部点可与闭凸集分开，边界点附近则可能存在支撑面。

这些用途都依赖同一个语义中心：一个非零仿射线性量的等值集给边界，不等式选择边界的一侧。多面体、线性可行性和凸分离属于后续复合结构，不应反过来混入超平面的定义。

参考资料

• R. Tyrrell Rockafellar, Convex Analysis, Princeton University Press, 1970, §§11–18, affine sets, half-spaces, and separation.
• Günter M. Ziegler, Lectures on Polytopes, Springer, 1995, Ch. 1, hyperplanes, half-spaces, and polyhedral terminology.