仿射超平面与半空间

超平面是空间中一条“平直的分界面”，半空间是分界面的一侧。线性泛函把每个点压缩成一个实数：等于阈值 $b$ 的点落在边界，小于和大于阈值的点分居两侧。这个描述比“垂直于某个向量”更基本，因为垂直需要内积，而求一个线性量是否超过阈值只需要仿射结构与实数理路实数系Real number system · Ordered complete field满足序域公理与上确界完备性的数系。次序。

缩放 $(a,b)$ 不改变几何对象：若 $\lambda >0$，$(\lambda a,\lambda b)$ 给出同一对半空间；若 $\lambda <0$，两个方向的标签互换。因此法向量与方程都不是唯一数据，真正稳定的是边界及其选定的一侧。

在 ${\mathbb{R}}^2$ 中，方程 $2x-y=3$ 给一条不经过原点的直线；$2x-y\le 3$ 是包含原点的一侧，$2x-y\ge 3$ 是另一侧。在 ${\mathbb{R}}^3$ 中，$x+y+z=1$ 是二维仿射平面。在所选实仿射坐标中，超平面以及开、闭半空间都是凸集理路凸集Convex set任意两点间线段全部包含在集合中的向量空间子集。：线性泛函在两点之间取相同的凸组合，所以等式或相应不等式沿整条线段保持；这个性质与临时原点无关。

条件 $a\ne 0$ 不能省略。若 $a=0$，等值集在 $b=0$ 时是整个空间，在 $b\ne 0$ 时为空，两者都不是余维一超平面。超平面也不必经过原点；只有 $b=0$ 且已选定的原点属于 $A$ 时，它才同时是线性子空间。所谓“法向量唯一”也只能理解为非零比例意义下唯一，并且需要先选内积。

严格半空间是开集，闭半空间包含边界；算法或定理若在二者之间切换，必须同步改变边界点的归属。无限维拓扑向量空间中还要要求泛函连续，才能保证核与半空间具有预期拓扑性质，本页不把有限维结论无条件外推到该情形。

有限个闭半空间的交给出多面体理路多面体与多胞形Polyhedron · Polytope分别由有限线性不等式交与有限点凸包描述，并由 Minkowski–Weyl 定理连接的凸几何对象。，说明线性不等式系统就是一种几何描述。线性规划理路线性规划Linear programming · LP在线性等式和不等式约束下优化线性目标函数的问题。研究目标泛函在这类可行域上的极值；计算几何理路计算几何问题Computational geometry problem以点、线段、多边形等几何对象为输入并要求组合或数值几何输出的问题族。则用超平面安排、点的位置测试和半空间交组织空间。分离与支撑超平面定理进一步说明，许多凸集可以由线性泛函“看见”：外部点可与闭凸集分开，边界点附近则可能存在支撑面。

这些用途都依赖线性部分非零的实仿射泛函：等值集给出边界，不等式选择边界的一侧。常函数即使非零，也无法切出这样的边界。多面体、线性可行性和凸分离是在这一对象之上研究的后续问题。