形式陈述

域 $\mathbb F$$\mathbb{F}$ 上以向量空间 $V$$V$ 为平移空间的仿射空间是集合 $A$$A$ 连同 $V$$V$ 的自由且传递作用

$$ A\times V\to A, \qquad (p,v)\mapsto p+v. $$$$A\times V\to A,(p,v)\mapsto p+v.$$

因此任意 $p,q\in A$$p,q\in A$ 存在唯一向量 $q-p\in V$$q-p\in V$ 使 $p+(q-p)=q$$p+(q-p)=q$。点之间可相减得向量，点可加向量得点，但两个点一般不能相加。若 $\sum_i\lambda_i=1$$\sum _i{\lambda }_i=1$，仿射组合 $\sum_i\lambda_i p_i$$\sum _i{\lambda }_i{p}_i$ 与原点选择无关。保持仿射组合的映射称仿射映射，在选定原点后写作 $x\mapsto Lx+b$$x\mapsto Lx+b$。

直觉

仿射空间就是忘掉零向量位置的向量空间：仍能谈位移、平行和比例，却没有一个天然点可称为原点。

例子与边界

Euclidean 点空间是以 $\mathbb R^n$${\mathbb{R}}^n$ 为平移空间的仿射空间。选定任一点 $o$$o$ 后可把 $p$$p$ 表为向量 $p-o$$p-o$，但换原点会平移全部坐标，不改变仿射关系。在实仿射空间中，重心 $(p+q+r)/3$$(p+q+r)/3$ 是合法仿射组合；一般域上只有在 $3$$3$ 可逆时这一写法才有意义。$p+q$$p+q$ 没有坐标无关意义。仿射空间本身不含长度、角度或内积，那些需要额外 Euclidean 结构。自由性排除非零向量固定点，传递性保证任意两点可由唯一平移连接。

推论与应用

仿射语言用于计算机图形、线性方程解集、重心坐标和射影几何，防止把“点”和“向量”在坐标记号中混为一谈。

参考资料

• Marcel Berger, Geometry I, Springer, 1987，Ch. 1, affine spaces and transformations。
• John Stillwell, The Four Pillars of Geometry, Springer, 2005，Chs. 1–2, affine geometry and transformations。