仿射空间

点与点不能天然相加，但点之差是向量，点加向量仍是点；这两种操作已经足以表达直线、平行与重心。仿射组合要求系数和为一，正是为了让换原点时附加的平移项相消。

具体地，任取参考点 $o$，组合定义为 $o+\sum _i{\lambda }_i(p_i-o)$。改用 $o+w$ 后，参考点增加 $w$，各位移减少 $w$，总变化为 $(1-\sum _i{\lambda }_i)w=0$。自由传递作用也称 torsor；非空条件保证能选参考点。

Euclidean 点空间是以 ${\mathbb{R}}^n$ 为平移空间的仿射空间。选定任一点 $o$ 后可把 $p$ 表为向量 $p-o$，但换原点会平移全部坐标，不改变仿射关系。在实仿射空间中，重心 $(p+q+r)/3$ 是合法仿射组合；一般域上只有在 $3$ 可逆时这一写法才有意义。$p+q$ 没有坐标无关意义。仿射空间本身不含长度、角度或内积，那些需要额外 Euclidean 结构。自由性排除非零向量固定点，传递性保证任意两点可由唯一平移连接。

给定两个不同点 $p,q$，直线可写成 $p+t(q-p)$，其中 $q-p$ 是平移向量；表达式 $(1-t)p+tq$ 的系数和为一，所以在任意仿射坐标中都一致。相反，$p+q$ 的坐标会随原点平移而改变，因而不是仿射不变量。线性方程组 $Ax=b$ 的非空解集是 $\ker A$ 的一个平移，因此通常是仿射子空间而非向量子空间。

向量空间理路向量空间Vector space标量域作用下满足线性公理的加法阿贝尔群。作为平移群自由且传递地作用，给出仿射空间；群作用理路群作用Group action群元素以保持单位元与乘法的方式作用于集合。语言说明为何任意两点间只有位移而无首选原点。仿射映射保留系数和为一的组合。若再把非零向量的比例类看作方向点，便得到射影空间理路射影空间Projective space把非零向量按非零标量倍数关系取商所得的直线空间。的入口。

选定原点后，仿射泛函写作 $g(x)=\ell (x)+b$。只有线性部分 $\ell \ne 0$ 时，等值集 $g(x)=c$ 才是仿射超平面；非零常函数 $g\equiv 1$ 的等值集却只能是整个空间或空集。在实仿射空间中，还可用 $g(x)\le c$ 或 $g(x)\ge c$ 选择边界的一侧，形成半空间理路仿射超平面与半空间Affine hyperplane · Half-space由非零线性泛函的等值集及其两侧不等式区域定义的仿射几何对象。。有限个半空间相交得到多面体理路多面体与多胞形Polyhedron · Polytope分别由有限线性不等式交与有限点凸包描述，并由 Minkowski–Weyl 定理连接的凸几何对象。；不等式需要实数等有序底域，不能直接用于任意域。