仿射空间

点与点不能天然相加，但点之差是向量，点加向量仍是点；这两种操作已经足以表达直线、平行与重心。仿射组合要求系数和为一，正是为了让换原点时附加的平移项相消。选择原点只是把 torsor 临时坐标化，并没有给空间增加新的内在结构。

Euclidean 点空间是以 ${\mathbb{R}}^n$ 为平移空间的仿射空间。选定任一点 $o$ 后可把 $p$ 表为向量 $p-o$，但换原点会平移全部坐标，不改变仿射关系。在实仿射空间中，重心 $(p+q+r)/3$ 是合法仿射组合；一般域上只有在 $3$ 可逆时这一写法才有意义。$p+q$ 没有坐标无关意义。仿射空间本身不含长度、角度或内积，那些需要额外 Euclidean 结构。自由性排除非零向量固定点，传递性保证任意两点可由唯一平移连接。

给定两点 $p,q$，直线可写成 $p+t(q-p)$，其中 $q-p$ 是平移向量；表达式 $(1-t)p+tq$ 的系数和为一，所以在任意仿射坐标中都一致。相反，$p+q$ 的坐标会随原点平移而改变，因而不是仿射不变量。线性方程组 $Ax=b$ 的非空解集是 $\ker A$ 的一个平移，因此通常是仿射子空间而非向量子空间。

向量空间公理库向量空间Vector space标量域作用下满足线性公理的加法阿贝尔群。作为平移群自由且传递地作用，给出仿射空间；群作用公理库群作用Group action群元素以保持单位元与乘法的方式作用于集合。语言说明为何任意两点间只有位移而无首选原点。非零仿射泛函的等值集与不等式区域形成仿射超平面和半空间公理库仿射超平面与半空间Affine hyperplane · Half-space由非零线性泛函的等值集及其两侧不等式区域定义的仿射几何对象。，有限个半空间再组合成多面体公理库多面体与多胞形Polyhedron · Polytope分别由有限线性不等式交与有限点凸包描述，并由 Minkowski–Weyl 定理连接的凸几何对象。。仿射映射保留系数和为一的组合；继续把同一直线上的比例方向视为点，则通向射影空间公理库射影空间Projective space把非零向量按非零标量倍数关系取商所得的直线空间。。