射影空间

射影空间把穿过原点的同一条一维子空间视为一个点，所以向量只保留方向而忘掉非零缩放。齐次坐标 $[x_0:\cdots :x_n]$ 不是普通坐标，乘以任意非零标量不变。它为仿射空间补上“平行线相交的无穷远方向”，使许多几何关系更对称。

实射影直线 ${\mathbb{RP}}^1$ 同胚于圆，${\mathbb{RP}}^n\cong S^n/(x\sim -x)$。复射影空间则为 ${\mathbb{CP}}^n\cong S^{2n+1}/S^1$，不能误写成只除以正负号。齐次坐标全为零是不允许的。${\mathbb{RP}}^2$ 不可定向，而 ${\mathbb{CP}}^n$ 具有自然复流形结构。射影空间不等于向量空间：没有全局定义的点加法，标量代表元也不唯一。

在 ${\mathbb{RP}}^2$ 中，齐次坐标满足 $x_0\ne 0$ 的点可唯一写成

从而形成一个与 ${\mathbb{R}}^2$ 同胚的仿射图表；补集 $x_0=0$ 是一条 ${\mathbb{RP}}^1$，可视为无穷远直线。不同图表之间通过坐标比值过渡，而不存在覆盖全空间的单一仿射坐标系。

向量空间公理库向量空间Vector space标量域作用下满足线性公理的加法阿贝尔群。的非零向量按标量倍等价公理库等价关系Equivalence relation满足自反、对称和传递性的关系。，经商拓扑得到射影空间。仿射图表把某坐标非零的区域识别为仿射空间公理库仿射空间Affine space忘去原点但保留向量平移作用和仿射组合的空间。，代数几何用齐次多项式描述射影簇；计算机视觉则用射影变换统一透视与无穷远点。