形式陈述

设 $V$$V$ 为非零有限维向量空间。射影空间定义为所有一维线性子空间的集合

$$ \mathbb P(V)=(V\setminus\{0\})/\sim, \qquad v\sim w\Longleftrightarrow w=\lambda v\text{ for some }\lambda\ne0. $$$$\mathbb{P}(V)=(V\setminus \{0\})/\sim ,v\sim w⟺w=\lambda v\text{ for some }\lambda \ne 0.$$

若 $V=\mathbb F^{n+1}$$V={\mathbb{F}}^{n+1}$，记为 $\mathbb P^n(\mathbb F)$${\mathbb{P}}^n(\mathbb{F})$，点用齐次坐标

$$ [x_0:\cdots:x_n] $$$$[x_0:\cdots :x_n]$$

表示，整体乘非零标量不改变点。每个非零线性泛函的核给出射影超平面；仿射空间可嵌入为 $x_0\ne0$$x_0\ne 0$ 的坐标片，余下超平面被解释为无穷远点。

直觉

射影空间把同一条过原点直线上的所有非零向量视为一个方向，因此平行仿射直线可在无穷远处获得共同交点。

例子与边界

实射影直线 $\mathbb{RP}^1$${\mathbb{RP}}^1$ 同胚于圆，$\mathbb{RP}^n\cong S^n/(x\sim-x)$${\mathbb{RP}}^n\cong S^n/(x\sim -x)$。复射影空间则为 $\mathbb{CP}^n\cong S^{2n+1}/S^1$${\mathbb{CP}}^n\cong S^{2n+1}/S^1$，不能误写成只除以正负号。齐次坐标全为零是不允许的。$\mathbb{RP}^2$${\mathbb{RP}}^2$ 不可定向，而 $\mathbb{CP}^n$${\mathbb{CP}}^n$ 具有自然复流形结构。射影空间不等于向量空间：没有全局定义的点加法，标量代表元也不唯一。

推论与应用

射影空间统一透视几何、齐次坐标、代数曲线和方向紧化，是计算机视觉与代数几何的基本环境。

参考资料

• Marcel Berger, Geometry I, Springer, 1987，Chs. 4–5, projective spaces and projective transformations。
• John Stillwell, The Four Pillars of Geometry, Springer, 2005，Chs. 5–6, projective geometry and homogeneous coordinates。