射影空间

一个射影点允许多种成比例的坐标，而每张仿射图表通过把某个非零坐标化成 $1$ 来选代表。例如实射影平面中的 $[2:4:6]$，在 $x_0\ne 0$ 的图表里表示为 $(2,3)$，在 $x_1\ne 0$ 的图表里则表示为 $(1/2,3/2)$。两个数对看似不同，却描述同一条过原点的直线。

若第一张图的坐标是 $(u,v)$，即点为 $[1:u:v]$，那么在重叠区 $u\ne 0$ 上，第二张图坐标为 $(1/u,v/u)$。坐标比值说明图表怎样拼接；某张图中“走向无穷”的方向，可以在另一张图中成为普通有限坐标。

实射影直线 ${\mathbb{RP}}^1$ 同胚于圆，${\mathbb{RP}}^n\cong S^n/(x\sim -x)$。复射影空间则为 ${\mathbb{CP}}^n\cong S^{2n+1}/S^1$，不能误写成只除以正负号。齐次坐标全为零是不允许的。${\mathbb{RP}}^2$ 不可定向，而 ${\mathbb{CP}}^n$ 具有自然复流形结构。射影空间不等于向量空间：没有全局定义的点加法，标量代表元也不唯一。

在 ${\mathbb{RP}}^2$ 中，齐次坐标满足 $x_0\ne 0$ 的点可唯一写成

从而形成一个与 ${\mathbb{R}}^2$ 同胚的仿射图表；补集 $x_0=0$ 是一条 ${\mathbb{RP}}^1$，可视为无穷远直线。不同图表之间通过坐标比值过渡，而不存在覆盖全空间的单一仿射坐标系。

在一般域上，概形版的射影直线理路概形与结构层Scheme · Structure sheaf · 概形在主开集上清分母证明结构层的粘合与茎公式，用双数区分拓扑点和局部环，再把两条仿射线粘成射影直线并计算全部全局正则函数。把 $\mathrm{Spec}k[t]$ 与 $\mathrm{Spec}k[u]$ 沿 $u=1/t$ 粘合。齐次坐标给出它的 $k$ 值点，但完整概形还含泛点等其他点及结构层。两片多项式在重叠处相容，迫使全局正则函数同时只有非负与非正的 $t$ 次幂，因而只能是常数；这个计算进一步证明射影直线不是仿射概形。

向量空间理路向量空间Vector space标量域作用下满足线性公理的加法阿贝尔群。的非零向量按标量倍等价理路等价关系Equivalence relation满足自反、对称和传递性的关系。得到射影点；实、复情形再借商拓扑研究其连续与光滑结构。仿射图表把某坐标非零的区域识别为仿射空间理路仿射空间Affine space忘去原点但保留向量平移作用和仿射组合的空间。，代数几何用齐次多项式描述射影簇；计算机视觉则用射影变换统一透视与无穷远点。

要从一个几何对象构造到射影空间的映射，线性系理路线性系与射影映射Linear system of sections · Base-point-free linear system用线丛截面的比值构造射影态射，定位投影的基点，并以平方映射区分基点自由与闭嵌入。说明坐标可由同一线丛的截面给出，并需检查共同无零点。使用全部次数 $d$ 单项式得到Veronese闭嵌入理路Veronese 嵌入Veronese embedding由完整单项式线性系构造Veronese闭嵌入，逐图核验扭三次曲线的三条子式方程与超平面截面。；扭三次曲线的两张逆坐标图显示，这比只取各坐标的 $d$ 次幂保留更多信息。

椭圆曲线理路椭圆曲线Elliptic curve带指定有理点的光滑射影亏格一曲线；由短 Weierstrass 方程推导点加法，并完整计算一个九点有限群。提供一个具体例子：把 $y^2=x^3+Ax+B$ 齐次化后，在无穷远直线上恰好补入 $O=[0:1:0]$。这个点成为曲线群律的零元；该运算来自曲线结构，不是整个射影平面的点加法。

二维实射影空间的具体计算可从圆盘对径附着的边界矩阵理路胞腔同调Cellular homology由 CW 骨架过滤构造以胞腔为基的链复形，并计算与奇异同调自然同构的群。开始：整数边界为乘二，换成模二才变成零。同调泛系数定理理路同调泛系数定理Universal coefficient theorem for homology · Homology UCT · 同调普遍系数定理证明自由整数链复形换系数的自然短正合列，用可见的Tor代表解释新生循环，并以剪切反例检验非自然分裂。进一步区分 $H_1(-;A)=A/2A$ 与 $H_2(-;A)=A[2]$；后者来自一维整数挠，而非先前已有的整数二维类。

用一份矩阵同时追踪点与直线 ​

在${\mathbb{P}}^2(K)$中，把直线${\ell }_{1}X+{\ell }_{2}Y+{\ell }_{3}Z=0$的三个系数写成非零列向量$\ell$，并按非零倍数取比例类。它属于对偶平面；关联关系是${\ell }^{\mathsf{T}}x=0$。若点按可逆矩阵$x^{\prime }=Mx$变化，代入得到

所以点和线不能都盲目乘$M$。例如$M=\mathrm{diag}(2,1,1)$把点$[1:-1:0]$送到$[2:-1:0]$；原线$X+Y=0$应变成$X+2Y=0$，仍含该点。误把线系数也乘$M$，得到$2X+Y=0$，在新点处值为3，关联丢失。这个例子在$\mathbb{Q}$或$\mathbb{R}$上解释。

射影圆锥的恢复与参数化理路射影圆锥的有理点与参数化Projective conic parametrization · Rational parametrization of a conic · 非退化射影圆锥 · 五点确定圆锥曲线在特征不为二的域上，由一个已有点构造一般非退化圆锥的完整参数与逆，并从无三点共线的五个点恢复唯一方程。把同样方向用于二次方程，得到$H^{\prime }=M^{-\mathsf{T}}H{M}^{-1}$。极点极线理路圆锥的极点极线与对偶Conic polarity and duality · Pole and polar of a conic · 圆锥极性 · 对偶圆锥用非退化圆锥的矩阵在点和线间可逆转换，证明切线与对偶方程，并通过实切线数量和割线调和对核验域与坐标条件。再以一个可逆对称$H$把点与线对应；它是附加了圆锥后的结构，不是射影空间定义本身替我们选好的一种距离或正交关系。