形式陈述

二维点 $a,b,c$ 的方向由行列式 $\mathrm{orient}(a,b,c)=\det (b-a,c-a)$ 的符号决定：正、负、零分别表示逆时针、顺时针和共线。高维中，对 $d+1$ 个点使用增广坐标行列式判定仿射定向。谓词本身是组合算法的基础，正确实现必须区分数学上的精确符号与浮点近似。

直觉

把 $a$ 当作原点，向量 $b-a$ 旋转到 $c-a$ 的方向就是三点转向；行列式给出带符号面积。

例子与边界

$(0,0),(1,0),(0,1)$ 的值为 $1$，故左转；交换后两点符号反转。凸包算法用它弹出造成错误转向的栈顶点。整数坐标时可用足够宽的整数计算，但乘法仍可能溢出；固定 epsilon 不能在所有尺度下可靠区分零与非零。

推论与应用

方向判定用于线段相交、点在多边形内、凸包、三角剖分和排列类型，是鲁棒计算几何中最重要的精确谓词之一。

参考资料

• Mark de Berg et al., Computational Geometry: Algorithms and Applications, 3rd ed., Springer, 2008，Chs. 1–7。
• Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein, Introduction to Algorithms, 4th ed., MIT Press, 2022，Parts I–VI。