群作用

群作用把抽象群元素解释为对象集合上的可逆变换，同时精确保留群乘法：先做 $h$ 再做 $g$，等于做 $gh$。研究群本身常很困难，而观察它怎样移动点，会自然产生轨道、稳定子与不变量。不同作用揭示同一群的不同侧面；只有忠实作用才完整区分所有群元素。

$S_n$ 通过 $\sigma \cdot i=\sigma (i)$ 作用于 $\{1,\dots ,n\}$；平面旋转群作用于平面点集。作用不必忠实：某些非单位元可能固定所有点；也不必传递：$X$ 可以分成多个互不连通的轨道。

群还可通过 $g\cdot x=gx{g}^{-1}$ 作用于自身；这里的轨道就是共轭类公理库共轭类Conjugacy class群中元素在内自同构下形成的轨道，刻画改变群内坐标后保持不变的元素类型。，稳定子就是中心化子公理库中心化子与群中心Centralizer · Center of a group与指定元素集合逐一交换的群元素构成中心化子；与全群交换的部分构成群中心。。例如 $S_3$ 的三个换位形成一条轨道，而三循环形成另一条轨道；具体类大小由轨道–稳定子公式计算。平凡作用中所有群元素都固定每个点，故作用一般既不要求忠实，也不要求传递。

对 $x\in X$，轨道 $G\cdot x$ 收集可由群公理库群Group配备结合二元运算、单位元，并且每个元素都有逆元的集合。变换互达的对象，稳定子 $G_x$ 收集保持$x$ 不动的群元素。轨道–稳定子定理公理库轨道–稳定子定理Orbit–stabilizer theorem有限群作用下元素轨道大小等于群阶除以稳定子阶。把两者与子群指数联系起来；共轭作用再把这一框架送到类方程公理库类方程Class equation of a finite group将有限群按共轭类分拆，以中心大小与中心化子指数表达群的阶。，Burnside 引理公理库Burnside 引理Burnside's lemma · Cauchy–Frobenius lemma有限群作用的轨道数等于各群元素不动点数的平均值。则按不动点统计一般有限作用的轨道。Cayley 定理公理库Cayley 定理Cayley's theorem每个群都同构于某个集合上的置换群的子群。来自群对自身的正则作用；表示论进一步把作用搬到向量空间，得到线性表示。