群作用

群作用把抽象乘法解释成对象上的变换组合。左作用的 $(gh)\cdot x$ 要先做 $h$ 再做 $g$，与函数复合一致。单位元不移动对象，逆元把对象带回原处。

同一个群可以作用在点、子集、着色或向量上。观察某个点能被送到哪里得到轨道 $G\cdot x$；观察哪些群元素把它留在原处得到稳定子 $G_x$。例如绕原点的平面旋转都固定原点，而一个非零点的轨道是同半径的圆周。

作用同态的核收集固定所有点的群元素，因此 $\ker \rho =\bigcap _{x\in X}{G}_x$。在上述平面旋转作用中，原点的稳定子是整个旋转群，作用的核却只有恒等旋转：每个非恒等旋转都会移动非零点。

$S_n$ 自然作用于 $\{1,\dots ,n\}$：$\sigma \cdot i=\sigma (i)$。在 $S_3$ 中，点 $1$ 的轨道为 $\{1,2,3\}$，稳定子为 $\{e,(23)\}$。这个作用是忠实的，因为固定所有点的置换只能是恒等置换；它却不是自由的，因为非单位元 $(23)$ 固定点 $1$。

忠实要求 $\ker \rho =\{e\}$；自由要求每个点的稳定子都为 $\{e\}$；传递则要求非空集合 $X$ 只有一个轨道。上述 $S_3$ 的自然作用还具有传递性。

另外两种作用能分开这些条件。让 $G$ 作用在 $G\times \{0,1\}$ 上，规定 $g\cdot (h,i)=(gh,i)$：每个点的稳定子都是 $\{e\}$，所以作用自由，但第二坐标不变，恰好产生两条轨道。非平凡群在单点集上的作用则传递，而每个群元素都固定该点，所以作用不忠实。

群通过 $g\cdot x=gx{g}^{-1}$ 作用于自身，轨道就是共轭类理路共轭类Conjugacy class群中元素在内自同构下形成的轨道，刻画改变群内坐标后保持不变的元素类型。，稳定子为中心化子理路中心化子与群中心Centralizer · Center of a group与指定元素集合逐一交换的群元素构成中心化子；与全群交换的部分构成群中心。。在 $S_3$ 中三个共轭类为

换位 $(12)$ 的中心化子为 $\{e,(12)\}$，三循环 $(123)$ 的中心化子为 $\{e,(123),(132)\}$；类大小分别为 $6/2=3$ 和 $6/3=2$。

关系 $y=g\cdot x$ 对某个 $g\in G$ 成立，是一个等价关系：单位元给出自反性，逆元给出对称性，乘法给出传递性。因此轨道把 $X$ 划分成互不相交的部分。对任一点 $x$，映射

是双射：两个群元素送 $x$ 到同一点，当且仅当它们属于同一左陪集。这是轨道–稳定子定理理路轨道–稳定子定理Orbit–stabilizer theorem有限群作用下元素轨道大小等于群阶除以稳定子阶。的机制；当 $G$ 有限时，$|G\cdot x|=|G|/|G_x|$。

共轭作用对各条轨道求和得到类方程理路类方程Class equation of a finite group将有限群按共轭类分拆，以中心大小与中心化子指数表达群的阶。。对于有限群在有限集合上的作用，Burnside 引理理路Burnside 引理Burnside's lemma · Cauchy–Frobenius lemma有限群作用的轨道数等于各群元素不动点数的平均值。则用不动点的平均数计算轨道数。例如 $S_3$ 的自然作用中，单位元固定三个点，三个换位各固定一个点，两个三循环没有不动点，所以轨道数为 $(3+3\cdot 1+2\cdot 0)/6=1$。

左乘作用 $g\cdot x=gx$ 总是忠实，因为看单位元就能恢复 $g$，由此得到Cayley 定理理路Cayley 定理Cayley's theorem每个群都同构于某个集合上的置换群的子群。。当 $X$ 是有限维向量空间且每个作用变换都是线性映射时，选定一组基就能用可逆矩阵表示群元素，群的乘法也就转化为矩阵乘法。

轨道—稳定子对应在连续几何中成为齐性空间理路Lie 群的齐性空间Homogeneous space of a Lie group · Lie group quotient G/H闭子群的陪集空间继承光滑结构，以 SO(3)/SO(2) 等于球面计算纤维、维数与切空间。：闭稳定子的陪集空间继承光滑结构，例如 $\mathrm{SO}(3)/\mathrm{SO}(2)$ 是球面。数域中也有另一种具体稳定子：分解群理路分解群与惯性群Decomposition group · Inertia groupGalois 群在素理想上的稳定子给出分解群，剩余域作用的核给出惯性群，并在一个二次域中算出三种情形。稳定一个上方素理想，再以剩余域作用的核定义惯性群，从而读出分歧指数与剩余次数。

若群作用还保持辛形式，动量映射理路动量映射Moment map · Momentum map将群作用的Hamilton生成函数组织为等变动量映射，区分原始函数与等变性障碍，并核验圆周作用符号。尝试用同一组等变Hamilton函数表达全部无穷小方向。保持辛形式本身并不够：环面平移有周期障碍，而平面全平移虽每个生成场Hamilton，却仍有等变性障碍。

有限Weyl群理路Weyl 群的简单反射词长Weyl group simple length · Weyl群根逆序数 · 简单反射约化词用简单反射的逐根交换机制证明词长等于转负正根数，输出最短词及最长元，并把一般点归约到唯一正室代表。还展示同一个线性群的三种作用层次：它在张成空间的根集合上作用忠实，但未必自由，例如 $B_3$ 中交换前两坐标的反射固定根 $e_3$；它在Weyl室上则自由且传递。避开所有根超平面的一般点具有平凡稳定子，而墙上点 $(2,2,1)$ 被那个坐标交换固定。由此，把点送入正室的群元素唯一，需要一般点条件，不能只凭整体作用忠实。