形式陈述

群 $G$$G$ 在集合 $X$$X$ 上的左作用是函数 $G\times X\to X$$G\times X\to X$，记作 $(g,x)\mapsto g\cdot x$$(g,x)\mapsto g\cdot x$，满足

$$ e\cdot x=x,\qquad (gh)\cdot x=g\cdot(h\cdot x) $$$$e\cdot x=x,(gh)\cdot x=g\cdot (h\cdot x)$$

对所有 $g,h\in G,x\in X$$g,h\in G,x\in X$ 成立。等价地，群作用是一个同态 $G\to\operatorname{Sym}(X)$$G\to \mathrm{Sym}(X)$，其中 $\operatorname{Sym}(X)$$\mathrm{Sym}(X)$ 是 $X$$X$ 上全体双射组成的群。

直觉

群作用把抽象群元素解释为对象上的可逆变换，同时精确保留群乘法：先做 $h$$h$ 再做 $g$$g$，等于做 $gh$$gh$。

例子与边界

$S_n$$S_n$ 通过 $\sigma\cdot i=\sigma(i)$$\sigma \cdot i=\sigma (i)$ 作用于 $\{1,\ldots,n\}$$\{1,\dots ,n\}$；平面旋转群作用于平面点集。作用不必忠实：某些非单位元可能固定所有点；也不必传递：$X$$X$ 可以分成多个互不连通的轨道。

推论与应用

对 $x\in X$$x\in X$，轨道 $G\cdot x$$G\cdot x$ 收集可由群变换互达的对象，稳定子 $G_x$$G_x$ 收集保持 $x$$x$ 不动的群元素。群作用将几何对称、置换表示、共轭和组合计数纳入统一语言。

参考资料

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004, §4.1.
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011, Chapters 6–7.