二元运算

二元运算是“把两个同类对象组合成一个同类对象”的最小代数接口。只有结果仍在同一个集合中，才能继续重复组合：

这使结合律等多步表达式具有统一类型。

封闭性取决于底层集合，而不只取决于公式。减法在整数上封闭，在自然数上却可能离开集合；除法在非零有理数上处处有定义，在全部有理数上则遇到零除。改变论域会改变“同一公式”是否构成二元运算。

把运算明确写成函数还能避免量词模糊。结合律是对所有 $a,b,c\in S$ 的等式；单位元必须属于 $S$；逆元也相对于同一个运算和同一个单位元定义。若运算只部分定义，这些公理需要重新表述。

整数加法和乘法都是 $\mathbb{Z}$ 上的二元运算。加法、乘法都结合且交换；加法单位元是 $0$，乘法单位元是 $1$。这些共同性质来自具体结构，不是二元运算定义的一部分。

考察“减法”时，先选底集再检查公式。在非负整数 ${\mathbb{N}}_0=\{0,1,2,\dots \}$ 上，输入 $(2,3)$ 得到 $-1$，已经违反封闭性；不必再讨论其他公理。改到整数 $\mathbb{Z}$ 后，每一对输入都有唯一整数结果，因而确实是二元运算。不过

两边按相同次序使用 $5,3,1$，只改了括号，结果就不同。这一步才是在检验结合律。$5-3=2$ 而 $3-5=-2$ 又单独否定了交换律；三个问题不能混成一次判断。

在集合 $X$ 的所有自映射上，函数复合是二元运算：两个 $X\to X$ 函数复合后仍是 $X\to X$。例如在整数上令 $f(x)=x+1$、$g(x)=2x$，则 $(f\circ g)(3)=7$，而 $(g\circ f)(3)=8$。复合满足结合律，却不因此交换；组合程序时，改变封装方式与调换执行顺序有不同含义。

矩阵乘法在固定尺寸 $n\times n$ 矩阵集合上是二元运算；在“所有长方形矩阵”的无类型集合上则不是，因为只有内维匹配时才能相乘。实际线性代数通过记录矩阵尺寸，把它视为范畴中的复合，而不是一个全域内部运算。

半群理路半群Semigroup带有结合二元运算的集合。是在二元运算上加入结合律；幺半群理路幺半群Monoid具有双侧单位元的半群。再加入单位元；群理路群Group配备结合二元运算、单位元，并且每个元素都有逆元的集合。进一步要求每个元素可逆。环同时组织加法与乘法两个二元运算，并用分配律连接它们。

算法中的折叠、扫描和区间聚合也依赖二元运算。若运算结合，输入可以按树形顺序组合；若还有单位元，可以自然处理空区间；若存在逆元，某些前缀结果可以相减恢复区间结果。所需代数条件应按接口逐项声明，而不是一律假设交换群。