形式陈述

集合 $S$ 上的二元运算是一个函数 $\ast :S\times S\to S$。对任意 $a,b\in S$，结果 $a\ast b$ 必须存在、唯一且仍属于 $S$。

直觉

二元运算是“组合两个同类对象并得到同类对象”的最小结构。结合律、交换律、单位元等都是加在这个函数上的额外条件。

例子与边界

整数加法是 $\mathbb{Z}$ 上的二元运算；自然数减法不是，因为 $2-3\notin \mathbb{N}$。除法也不是实数上的全域二元运算，因为除数可能为零。

推论与应用

半群、幺半群、群、环和域都从一个或多个二元运算开始定义。

参考资料

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., §1.1.
• Joseph A. Gallian, Contemporary Abstract Algebra, 10th ed., Chapter 2.